Основные понятия. 
Алгебра матриц

Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется — матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй — номер столбца матрицы. Например, матрица.

В сокращенной записи: А=(аij); где аij — действительные числа, i=1,2,…m;

j=1,2,…, n (кратко, .). Произведение называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

матрица умножение коммутативный Упорядоченный набор элементов а11, а22,…, аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n, а2, n-1,…, аn1 — побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

называется диагональной, т. е. диагональная матрица имеет вид:

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая — О. Матрицы имеют вид:

Линейные операции над матрицами Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.

.

Таким образом, чтобы сложить матрицы, А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,.

A + B = = C.

Определение. Произведение матрицы, А на число называется матрица А=(аij), получаемая умножением всех элементов матрицы, А на число .

Например, если и =5, то.

Разность матриц, А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А, В, С — матрицы одинакового размера; , — действительные числа.

А+В = В+А — коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) — ассоциативность сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы, А существует противоположнаяА, элементы которой отличаются от элементов, А знаком, при этом А+(-А)=О.

• (А) = ()А = (А). 6. (+)А = А+А.
• (А+В) = А+В. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.

Умножение матриц В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера и прямоугольной матрицы B=(bij) размера называется прямоугольная матрица С=(сij) размера, такая что.

cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj;

.

Таким образом, элемент произведения матриц, А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы, А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т. е.

.

Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы, А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

1., .

2., .

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т. е. В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы, А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т. е.

3., .

Для этих матриц произведение как АВ, так и ВА не существует.

.

Получим, ВА — не существует.

Свойства умножения матриц.

Пусть А, В, С — матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), — действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

• (АВ)С = А (ВС) — ассоциативность.
• (А+В)С = АС+ВС — дистрибутивность.

А (В+С) = АВ+АС — дистрибутивность.

(АВ) = (А)В = А (В).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А (В+С). Это будет число аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin (bnj+cnj) =.

(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).

Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:

, .

Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:

, .

Упражнение 3. Найти матрицу А3, если .

Вырожденные и невырожденные матрицы Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример., = 16−15 = 1 0; А — невырожденная матрица.

= 12−12 = 0; А — вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ — вырожденная матрица, т. е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц, А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица, А вырожденная, т. е. =0. Найдем, т.к. =0; итак, =0; АВ — вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.