Определение матрицы масс [М] и матрицы диссипации [Н]

Обратимся к выражению кинетической энергии [см. (24.2)1 • Подсчитаем кинетическую энергию стандартного стержневого элемента (рис. 24.1). Возьмем плоский стержневой элемент массой т₀, длиной /. Вырежем часть его длиной dx и подсчитаем ее кинетическую энергию:

Угловой скоростью вращения элемента ш в расчетах обычно пренебрегают. Тогда в матричном виде предыдущее выражение приобретает вид Для последующих расчетов примем важную гипотезу: распределение скоростей движения пропорционально распределению статических перемещении системы. Эта гипотеза несправедлива при больших частотах колебаний. В некоторых случаях, как будет указано далее, это вызывает ошибку в расчетах.

Выразим перемещения произвольного сечения и через узловые перемещения, А [см. (22.1)]. Раскроем это выражение для плоского стержневого элемента:

Согласно принятой гипотезе, запишем связь скорости произвольной точки элемента и' со скоростями узловых точек А'.

Подставим выражение (24.5) в выражение (24.4). При этом учтем, что U’Ma’JDv] согласно правилу транспонирования произведения матриц (см. в п. 23.4),.

Вынесем из-под интеграла постоянные множители (независящие от х)

Сравнивая выражения (24.6) и (24.2), видим, что взятая в скобки часть выражения (24.6) есть матрица масс М|:

Матрица масс плоского стержневого элемента показана на рис. 24.2. Этот рисунок — фрагмент программы расчета плоской стержневой системы, поэтому там показаны три стандартные матрицы элемента: матрица направляющих косинусов, матрица жесткости и матрица масс. В программе длина элемента к обозначена LL_k, масса элемента к — т_к — pA_kLL_k, где р — плотность материала, А_к — площадь поперечного сечения элемента к.

Рис. 24.2. Стандартные матрицы плоского стержневого элемента.

Использование готовых стандартных матриц вместо вычисления интегралов для каждого элемента позволяет существенно сократить время расчета. Матрицу масс стержневой системы подсчитывают так же, как и матрицу жесткости системы путем суммирования соответствующих коэффициентов матриц масс элементов с помощью матрицы индексов (см. п. 22.2.4, рис. 22.11).

При расчете матрицы масс стержневой системы необходимо учесть распределенные массы элементов и массы, сосредоточенные в узлах системы. Выше приведен учет распределенных масс элементов. Фактически распределенные массы заменяются сосредоточенными массами, приведенными к узлам элемента.

Если стержневая система имеет массы, сосредоточенные в узлах, то такие массы просто складываются с приведенными к этому узлу распределенными массами, /Я, у Я?_;— у распределенная ^/, j сосредоточенная^-

Матрица диссипации [Я] — аналог коэффициента затухания колебаний И. Коэффициенты матрицы диссипации (демпфирования), как и коэффициент затухания, должны определяться опытным путем. Сопоставим уравнения движения систем с одной и со многими степенями свободы:

Матрице демпфирования соответствует произведение 2Ит в уравнении движения системы с одной степенью свободы. Ввиду отсутствия других возможностей рекомендуется опытным путем найти коэффициент затухания колебаний Л, используя логарифмический декремент б = In(Aj/A_i+l), где и A_i+l —амплитуды двух соседних периодов затухающих колебаний. Тогда h/(o = 6/(2л). Матрицу демпфирования можно определить как [Я] = 2(Л/ш)о)[Л/], где со — первая (низшая) собственная частота стержневой системы. Если нет возможности определения h опытным путем, то отношение И/со берут из справочников.

Другой способ задания матрицы диссипации. Предполагается, что матрица диссипации пропорциональна матрице масс и матрице жесткости: [//] = afАГ] + (3[Л/], где, а и (3 — опытные коэффициенты. При а—>0 и (3 ^ 0 затухание более интенсивно на высоких частотах, при а^О и (3—>0 — на низких частотах. При расчетах затухающих колебаний в вычислительных комплексах, например в ANSYS, предлагается задаваться этими коэффициентами.