Интегральная поверхность. 
Первые интегралы

Попытаемся понять, и чем главный корень наших проблем, совершенно отсутствовавших в случае двумерной системы и кажущихся непреодолимыми уже в случае системы трехмерной? Фокус был в том, что решение уравнения фазовых траекторий для двумерной системы давало нам прямо сразу некоторое соотношение между х, у (содержащее, помимо прочего, еще и произвольную константу), которое явно описывало все траектории. Это соотношение обычно выписывают в виде, разрешенном относительно константы

и функцию F (x, у) называют интегралом системы. Использование записи в виде 25.3 имеет преимущество перед другими: в этом случае траектории системы оказываются просто линиями уровня функции F{x, y). Именно «расслоение^[1][2] всей фазовой плоскости на линии уровня функции F (x, y) обеспечивает нам легкость построения фазового портрета в плоском случае.

Специфика трехмерного случая (и случаев более высокой размерности) состоит в том, что для функции, заданной в пространстве размерности больше двух, множества уровня являются, вообще говоря, не линиями, а поверхностями (гиперповерхностями, или многообразиями^ для размерности > 4). Поэтому траектория оказывается в гораздо более сложном отношении с множествами уровня скалярной функции, чем в двумерном случае. На самом деле именно тут кроется корень всех проблем.

Постараемся разобраться. Нас интересуют траектории, т. е. одномерные линии. Удобно работать с поверхностями двумерными ((п — 1) — мерными) объектами. Значит, надо определить, как из поверхностей получать кривые.

Вопрос, конечно, банален: кривая получается просто пересечением двух поверхностей. Поскольку мы надеемся получить траекторию, она должна лежать на обеих поверхностях. Значит, поверхности должны целиком содержать искомую траекторию.

Далее, если нас интересует семейство всех траекторий то, естественно, надо говорить о семействах поверхностей, задаваемых соотношением.

Каждому значению С соответствует своя поверхность, а вес вместе они создают такое специфическое «расслоение¹⁴ пространства. Если теперь пересечь это расслоение другой поверхностью получится набор кривых. каждая из которых является пересечением секущей поверхности со своим слоем (см. рис. 25.1). Что же мы видим? Что, вообще говоря, нам необходимы не просто поверхности, содержащие ту или иную фазовую кривую, а поверхности, целиком состоящие из таких кривых. И что сам набор кривых образуется как пересечение двух различных семейств поверхностей:

Рис. 25.1: Семейство кривых получается сечением семейства поверхностей другой поверхностью.

Определение 25.1 Поверхность F (x, y, z) = С называется интегральной поверхностью системы (25.1), если она состоит из фазовых кривых этой системы.

Происхождение термина «интегральная¹¹ связано с тем, что поверхность определяется первым интегралом системы. Понятие первого интеграла мы уже обсуждали в линейной теории, уточним его понятие для автономных систем.

Определение 25.2 Функция F (x, y, z) называется первым, интегралом системы (25.1), если для любого решения (x (t), y (t), z (t)) этой системы функция F (x (t), y (t), z (t)) является константой (не зависит. от. t).

Лемма 25.1 Пусть для асах С поверхности F (x, y, z) = С являются. интегральными для системы (25.1). Тогда функция. F (x, y, z) является первым интегралом этой системы.

Доказательство почти тривиально. Возьмем произвольное решение системы (25.1). Найдем его начальное условие (.тсьУсь^о) и определим Со = F (xo, yo, 2о). Поскольку поверхность F (x, y, z) = Со интегральная и точка траектории принадлежит этой поверхности значит, и вся траектория лежит на этой поверхности: F (x (t), y (t), z (t)) = СоЛемма доказана.

Итак, резюмируем: семейство (фановых траекторий систем. ы (25.1) мы можем описать как попарные пересечения двух семейств поверхностей, каждое из которых задается некоторым первым интегралом этой системы.

• [1] Изначальная фраза «многообразие всех решений нелинейного уравнения
• [2] F (x, у, г) = 0 представлено поверхностью z = … «со временем мутировало просто воборот «многообразие решений2 как эквивалента «поверхности2, а затем (в дифференциальной геометрии) превратилось в специальный математический термин «многообразие2.