Расчет выработки продукции на одного работника

Задача № 2.

По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таб.3.

• 1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
• 2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. проанализировать их.
• 3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
• 4. С помощью Fкритерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
• 5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора х₁ после х₂ и фактора х₂ после х₁ .
• 6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
• 7. Осуществить проверку результатов решения с помощью MS Excel.

Решение Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу 4.

таб.4.

Средние квадратические отклонения признаков:

у_у =.

у_у =² = = 2,2361.

у_х =.

у_х1 =² = = 1,8304.

у_х2 =² = = 6,4013.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии.

= a +.

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a,, :

или воспользоваться формулами:

a =.

Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

=.

=.

Находим:

= 1,221,067 = 1,30 174.

a =.

a = 9,5 — 1,302.

Уравнение множественной регрессии:

= a +

= 1,943 + 1,302.

Коэффициенты стандартизированного уравнения регрессии = +, находятся по формулам:

= b1.

= b2.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

1,066 — 0,085.

Т.к.стандартизированные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большое влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравним влияние факторов на результат при помощи средних коэффициентов эластичности:

=.

= = 1,302 = 1,3020,6652 = 0,86 604 = 0,87.

= = -0,0297 = - 0,2 972,3884 = - 0,071.

Т.е. увеличение основных фондов (от своего среднего значения) и удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,87%. Таким образом, подтверждается большое влияние на результат y фактора, чем фактора .

2. При двух факторов частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Коэффициент множественной корреляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:

• — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
• -определитель матрицы межфакторной корреляции.

= 1- 0,95 453 = 0,4 547.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 96,6% и указывают на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами — на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

множественный регрессия корреляция детерминация определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 96%) детерминированность результата у в модели факторами .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает Fкритерий Фишера:

F =.

=.

Получили, что = 3,63 (при n=16), т. е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%.

Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т. е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью Fкритерия Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

Найдем и.

= 0,966.

Получили, что, Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически не целесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, не существенным. Фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после, то результат расчета частного.

F-критерия для будет иным.

т. е.

вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта. Следовательно, значение частного F-критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора.

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами с содержит неинформативный фактор. Если исключить фактор, то можно ограничится уравнением парной регрессии:

= a + = a +

=1,94+1,3х.

= 0,961.