Упражнения к главе iii

Выполнить графически инверсию прямой относительно окружности. У Казани е. Следует отдельно рассмотреть случаи, когда Прямая пересекается с основной окружностью, имеет касание и не пересекается с ней.}}^[1]* __Р^[2]г

• 0тв• | а |² — Г² ' ^Р а — /*•
• 5. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя, вная двойные точки /₂, 2 и точку ^ь/₄ + ⁸/i переходящую в бесконечность,
• 0me.^ _{= i^z^b.}

_{w — 2 z — 2}

_{6. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя, вная двойные точки i и точку 2/, переходящую в бесконечность.}

_{w—i-z — i}

_{Отв. -. = 3—?—:.}

_{w—i z—i}

_{7. Написать линейное преобразование единичного круга самого в себя, вная его двойную точку 1 и точку переходящую в бесконечность.}

_{Л 1 1, (/— 1) г +1}

°^те- —1=^1-'- ^или «=-, + (1+0•.

8. Составить линейное преобразование верхней полуплоскости на единичный круг, переводящее точки действительной оси — 1, 0, +1 в точкиf 1, 4, — 1 окружности.

Отв. w = (z— /):(/* — 1).

9. Пользуясь изображением геометрии Лобачевского на полуплоскости, решить задачу: зная евклидовы центр г₀ = х₀ /уо ^и радиус р окружности, найти её неевклидовы центр z и радиус Р.

Ош. z=x₀+iV&^, * = |.

• 10. Решить задачу 9 построением.
• 11. Отобразить на верхнюю полуплоскость единичный круг с купюрой, идущей от центра по радиусу действительной оси.
• — -тт ?
• 12. Область задачи 11 отобразить на единичный круг так, чтобы точки 1, О и 1 перешли в точки 1, —i и —1.

" z++2iV7

Отв. С = -;—77= .

• [1] Выполнить графическое построение инверсии окружности, проходящейчерез полюс. Указание. Построение будет обратным построению задачи 1.

  .

  • 3. Выполнить графически инверсию окружности, не проходящей через полюс. Указание. Следует отдельно рассмотреть случаи, когда окружность пересекается с основной окружностью, касается её и не пересекается с ней.
  • 4. Зная центр, а и радиус г окружности, определить положение центра и величину радиуса окружности, являющейся инверсией данной, принимая полюс в начале координат и радиус инверсии равным Р