Матрица монодромии и мультипликаторы. 
Критерий устойчивости периодической системы

Вернемся теперь к вопросу об устойчивости периодической системы (28.1). Поскольку нас интересует поведение не какого-то отдельного решения, а всей их совокупности, исследование лучше проводить с помощью объекта, который охватывает все решения «разом¹¹ фундаментальной матрицы, являющейся решением соответствующего матричного дифференциального уравнения. Нам будет удобно рассматривать ту из фундаментальных матриц (напомним, что их много и они выражаются друг через друга с помощью умножения справа на какую-нибудь постоянную матрицу), которая в нуле равна единичной матрице (такую фундаментальную матрицу иногда называют матрициантом системы). Эту фундаментальную матрицу мы обозначим через U (t). Тогда соответствующее матричное дифференциальное уравнение имеет вид.

а решение уравнения (28.1), удовлетворяющее в нуле начальному условию ж (0) = хо, выражается через U (t) по формуле.

Понятно, что все свойства решений системы (28.1) заключены в матрице U (t). Поэтому интересно посмотреть, что произойдет с матрицей через период, через два периода и г. д. Оказывается, имеет место следующий факт.

Лемма 28.1 U (t, + uj) — U (t)U (co).

Доказательство. Обе матрицы являются решением уравнения (28.8), первая в силу периодичности A (t):

и вторая как произведение фундаментальной матрицы на постоянную справа. Обе матрицы удовлетворяют одному и тому же начальному условию: С/(0 + ?д) = U (oj),.

По теореме существования и единственности они обязаны совпадать. Лемма доказана.

Следствие. U (t + nu>) = U (t)Uⁿ(uj).

Как мы видим, в наших формулах матрица U (ui) играет ту же роль, что и множитель р для скалярного уравнения. Матрицу U (lo) называют матрицей монодромии¹ системы (28.1). Какие именно характеристики матрицы и{ш) отвечают за устойчивость? Оказывается, как и в случае системы с постоянными коэффициентами, это собственные числа матрицы, которые называются, как и число р. в уравнении (28.3). мультипликаторами системы (28.1). Причина такой значимости собственных чисел все та же теорема существования и единственности плюс теорема Жордана. Система собственных и присоединенных векторов матрицы образует базис в IR¹¹ (С^п), и поэтому система решений, начальными условиями которых являются эти собственные и присоединенные вектора, оказывается фундаментальной. С другой стороны, динамика таких решений легко отслеживается: если хо собственный вектор, то.

т.е. с такими решениями происходит в точности то же самое, что и с решением скалярного периодического уравнения, они через период умножаются на соответствующее р. Отличие состоит только в том, что здесь р могут быть не только вещественными, но и комплексными (что преодолевается стандартной уже для нас техникой комплексификацией), и что собственные значения матрицы могут быть кратными и могут быть связанными с присоединенными векторами. Если h°, /г¹,…, h^k цепочка из собственного и присоединенных к нему векторов, то соответствующие решения х°(t), х¹ (t),… x^k(t) через период преобразуются по.

'Что такое «моно» все знают: «один». А вот что такое «дром»? В голову сразу лезут аэродромы, космодромы, ракетодромы. Гораздо меньше вероятность вспомнить «ипподром». хотя именно оно является ключевым. В переводе с греческого оно означает «лошадиный бег». т. е. место, но которому бегают лошади (Сппсх; лошадь и бро/ля бег). Все остальные «дромы» уже плод русскоязычного словообразования, отчасти утерявшего исходный смысл корня «дром» (если по аэродрому самолеты в каком-то смысле еще «бегают», то уж бег ракеты, но ракетодрому представить трудно). Так что матрица монодромии матрица, получающаяся «через одну пробежку», или «через один период», и на название этой матрицы не следует смотреть как на некоторый лингвистический изыск это слово называет именно то, что и должно называть.

следующему правилу:

Методом математической индукции отсюда получаются (докажите самостоятельно!) формулы.

С помощью формул (28.9) легко исследовать устойчивость. Видно, что если хотя бы одно собственное значение матрицы монодромии по модулю больше единицы, то система неустойчива: для соответствующего решения (с начальным условием, равным собственному вектору 1г) получаем ||x (na>|| = ||д^п/г|| = |/i|ⁿ||/i|| ~* +оо. Точно так же отслеживается неустойчивость в случае, когда собственному значению //, по модулю равному единице, соответствует присоединенный вектор: для решения x^l(t) по формулам (28.9) получаем.

(второй множитель стремится к ||/г¹||, а первый п к бесконечности).

Если собственное значение матрицы строго меньше единицы по модулю, то соответствующее решение не просто ограничено, но и стремится к нулю при t —> +ос независимо от наличия или отсутствия присоединенных векторов. Это следует из соотношений.

при п —> ос потому, что супремумы по отрезку [0, и) некоторые фиксированные числа, а коэффициенты Ch~^lfiⁿ~^J+l стремятся, в силу |д| < 1, к нулю (по существу их поведение эквивалентно последовательности п>~^гц^п. и стремление к нулю просто является следствием теоремы о сравнении роста показательной и степенной функций).

Таким образом, если все мультипликаторы строго меньше единицы по модулю, то все решения системы стремятся к нулю система асимптотически устойчива.

Если некоторое собственное значение по модулю равно единице и ему соответствуют только собственные вектора, то каждое соответствующее решение удовлетворяет соотношению.

откуда следуют, во-первых, его ограниченность на всей полуоси и, вовторых, отсутствие стремления к нулю при t —> +оо. Значит, наличие в спектре матрицы монодромии собственных значений с указанным свойством гарантирует (если все остальные строго меньше единицы, но модулю) ограниченность всех решений, а значит устойчивость системы.

Итак, проведенные нами исследования можно резюмировать в виде следующей теоремы.

Теорема 28.1 (Теорема Ляпунова об устойчивости периодических систем) Для того, чтобы периодическая, система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы, все собственные значения матрицы монодромии (мультипликаторы) по модулю не превосходили единицы, а тем, которые по модулю в точности равны единице, соответствовали только собственные вектора^[1].

Для того, чтобы периодическая система была неустойчивой, необходим, о и достаточно существование хотя бы. одного мультипликатора, по модулю большего единицы, либо равного по модулю единице, но которому отвечают не только собственные, но и присоединенные вектора.

Для того, чтобы периодическая система, была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы, все мультипликаторы, были по модулю строго меньше единицы.

• [1]^{Поучительно,} что этот пограничный случай не обошелся без «исторических казу-сов»: с ним связана известная ошибка Лагранжа, который в похожих рассуждениях (но для систем с постоянными коэффициентами) «пропустил11 случай, когда кратнымсобственным значениям могут соответствовать не решения вида the1'1, а решения вида /ieAt с различными векторами h. Подробнее об этом можно прочитать в |27|, впримерах § 5 второй главы.