Математическая постановка задач теплопроводности

После изучения главы 2 бакалавр должен: знать

• • что включает математическая постановка задачи; уметь
• • классифицировать условия однозначности, включающие физические, геометрические, начальные и граничные условия;

владеть

• навыками выполнения математических постановок задач.

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.31) является математической моделью целого класса явлений теплопроводности, и при его интегрировании может быть получено бесчисленное множество различных решений. Чтобы из этого множества найти одно частное решение, соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные условия, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением однозначно определяют конкретную задачу теплопроводности, называются условиями однозначности.

Рассмотрим состав этих условий.

• 1. Геометрические условия — характеризуют форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплообмена. Например, если рассматривается стержень, то, поместив систему координат так, как это показано на рис. 2.1, я, можно математически описать данное тело неравенством -/ < х < /; форма и размеры тела (рис. 2.1, 5) в виде прямоугольника опишутся неравенствами О < х < 1, 0 < у < /₂; в случае круга радиусом R_} или его части (рис. 2.1, в, г), или кругового сектора (рис. 2.1, д) соответственно запишем: 0 < г < R, О < Ф < 2я; R_{ < г < /?₂, 0 < ф < а; 0 < г < Я, 0 < ф < а.
• 2. Физические условия — характеризуют физические свойства тела (теплопроводность и температуропроводность), а также закон распределения внутренних источников теплоты.
• 3. Граничные условия — характеризуют особенности теплового взаимодействия граничной поверхности тела с окружающей средой.
• 4. Временные, или начальные, условия, характеризующие температурное состояние тела в исходный (начальный) момент времени.

Рис. 2.1. Схемы к объяснению задания геометрических условий

Перечисленные условия в совокупности определяют одно (конкретное) явление теплопроводности, поэтому они и названы условиями однозначности, или условиями единственности.

Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами условия однозначности сводятся к заданию начального и граничного условий. Эти условия в совокупности называются краевыми условиями — начальное условие является временным краевым условием, а граничное условие — пространственным краевым условием. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу теплопроводности. Для установившегося (стационарного) процесса теплопроводности в задании начального условия нет необходимости, и в этом случае краевая задача будет состоять из уравнения теплопроводности и граничных условий.