Примеры решения логических задач

Решение логических задач с помощью табличного метода

Задача 1. В школе разбито окно. Один свидетель говорит: «Если виновен Борис, то виновен и Дмитрий», — другой: «Если виновен Дмитрий, то виновен и Борис», — а третий: «Виновен только один из них — либо Борис, либо Дмитрий». Могут ли они все трое лгать? Могут ли они все трое говорить правду? Для решения этой задачи достаточно построить совместную таблицу для показаний трех свидетелей (табл. 4.20). Пусть Р означает, что виновен Борис, a Q — что виновен Дмитрий.

Таблица 4.20

Таблица показаний трех свидетелей для решения задачи 1

Из построенной таблицы видно, что свидетели не могут все втроем говорить правду, но не могут и все втроем лгать. Более того, оказывается, что даже двое свидетелей не могут вместе лгать — в каждой строке только одна формула является ложной, а две — истинными.

Задача 2. Три ученика, Саша, Коля и Вова, прогуляли информатику. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, они ответили следующее.

• • Саша: «Я никогда не призывал к прогулу, это была идея Коли».
• • Коля: «Я никогда не предложил бы это первым, во всем виноват Вова».
• • Вова: «Эта идея пришла в голову Коле. Я просто пошел за компанию».

Учитель почувствовал, что двое учеников говорят правду наполовину, а один лжет. Кто из учеников был инициатором прогула?

Решение. У каждого мальчика два высказывания, запишем их в более формальном виде.

• • Саша. 1. Это не Саша. 2. Это Коля.
• • Коля. 1. Это не Коля. 2. Это Вова.
• • Вова. 1. Это Коля. 2. Это не Вова.

Теперь предположим, что зачинщик Саша. Составим таблицу, где отметим истинность каждого высказывания единицей, а ложность — нулем (табл. 4.21).

Этот вариант уже подходит, потому что Саша оба раза солгал, а остальные сказали один раз правду, а второй — нет.

На всякий случай проверяем остальные варианты (табл. 4.22).

Таблица 4.22

Таблица показаний Саши, Коли и Вовы для решения задачи 2.

Таким образом, Саша первым предложил прогулять урок, ответ — С.

Задача 3. Накануне олимпиады, но математике ученики разных классов высказали следующие предположения по поводу победы своих представителей.

• • 10 «А»: Максим победит, Борис займет второе место.
• • 10 «Б»: Борис — третий, Николай — первый.
• • 10 «В»: Максим — последний, а первый — Дмитрий. Когда олимпиада закончилась, оказалось, что каждый

из классов был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на олимпиаде заняли Дмитрий, Николай, Борис, Максим?

Решение. Запишем высказывания трех классов в форме таблицы (заголовок строки обозначает место на олимпиаде) (табл. 4.23).

Таблица 4.23

Таблица прогнозов для решения задачи 3.

Считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем «раскручивать» эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае — с первой). Предположим, что Максим действительно занял первое место, как и сказал 10 «А»; в этом случае 10 «В» ошибся, поставив на первое место Дмитрия. Учитывая, что каждый один раз угадал, а второй ошибся, получается, что 10 «В» угадал, что Максим будет на четвертом месте. Но мы предположили, что Максим — на первом месте (а не на четвертом), следовательно, получили противоречие; это значит, что Максим все-таки не на первом месте. Таким образом, в первом прогнозе 10 «А» ошибся, это значит, что во втором он угадал, и Борис действительно занял второе место (табл. 4.24).

Таблица 4.24

Таблица первого этапа рассуждений для решения задачи 3.

Так как Борис — второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза 10 «Б» следует, что Николай — первый (табл. 4.25).

Таблица 4.25

Таблица второго этапа рассуждений для решения задачи 3.

Если Николай на первом месте, там не может быть Дмитрий, поэтому из ответов 10 «В» (среди которых должен быть один верный и один неверный) сразу находим, что Максим занял четвертое место (табл. 4.26).

Осталось только определиться с Дмитрием — ему досталось единственное «свободное» третье место. Окончательный список победителей будет выглядеть гак:

1-е место — Николай; 2-е — Борис; 3-е — Дмитрий; 4-е место — Максим.