Основные уравнения электродинамики в комплексной форме

При передаче информации посредством ЭМ поля описывающие его векторы меняются во времени. Мгновенные значения векторов поля Е(p, t), D(p, t), Н(p, t), В(p, t), вектора плотности тока j(p, t) и плотности заряда можно представить в виде интегралов Фурье (прямого преобразования Фурье). Обозначим мгновенное значение любого из векторов ЭМ поля через a(p, t). Тогда применяя к нему преобразование Фурье, получаем:

(31).

гдекомплексная амплитуда, или спектральная плотность соответствующего вектора, -частота, i-мнимая единица.

Подставляя значения преобразований Фурье векторов поля в первое уравнение Максвелла, меняя последовательность выполнения операций ротора и дифференцирования по времени, учитывая, что, умножим результат на множитель, гдефиксированная частота. Этот множитель можно внести под знак интеграла. Выполним интегрирование полученного выражения по переменной t в пределах от до. Получаем, меняя порядок интегрирования и сокращая множитель: электромагнитный индукция максвелл гистерезис.

Учитывая здесь, что интеграл по времени есть интеграл Фурьефункции и сокращая множитель 2, имеем:

Применяя при интегрировании по со основное свойствофункции, получаем:

откуда, возвращаясь к частоте (выполнив замену), имеем:

(32).

Применив аналогичные операции к остальным трем уравнениям Максвелла, получаем.

(33).

.

Систему уравнений (32), (33) называют системой уравнений Максвелла в комплексной форме (уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд).

Предположим, что в линейной изотропной среде отсутствуют диэлектрический и магнитный гистерезисы. Использовав при этом преобразования Фурье для D(p, t), В(p, t), , Е'(р, г) и j (p, t), получаем материальные уравнения в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

(34).

; (35).

где считается, что в случае задания сторонней напряженности поля .

Применимость материальных уравнений в простой форме ограничена, так как в них не учитывается явление запаздывания во времени электрической поляризации и намагничивания, наблюдаемые в веществах на высоких частотах (частотная дисперсия).

Так как в общем виде , , , то находим тем же путем закон сохранения электрического заряда в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

; (36).

Многие задачи возбуждения ЭМ поля изучаются при одинаковых параметрах сред в области источника и в объеме. Тогда, , и, ,.

. Сторонние токи заданы при этом в области и закон Ома имеет одинаковый вид во всем объеме V

(37).

Подставляя материальные уравнения, получаем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд векторов напряженностей поля:

(38).

где — абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость среды (не является комплексной амплитудой).

В первом уравнении Максвелла слагаемое описывает плотность тока смещения. Второе слагаемое — это плотность тока проводимости. Если в веществе плотность тока проводимости намного больше плотности тока смещения, т. е., то вещество называют проводником. Если в веществе плотность тока проводимости намного меньше плотности тока смещения, т. е., то вещество называют диэлектриком. Таким образом, одно и то же вещество на разных частотах может быть диэлектриком, проводником и полупроводником.

При математическом моделировании применяются понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Если = 0, то ток проводимости отсутствует, вещество— идеальный диэлектрик. Если вещество называют идеальным проводником. Для него.

.

Если тело считается идеальным диэлектриком, то джоулевы потери в нем отсутствуют поскольку = 0. Если тело считается идеальным проводником, то ЭМ поле в него не проникает, т.е. ,

Магнитное поле не изменяется ни при каких физических процессах в теле. Это значит, что внутри идеального проводника переменное во времени магнитное поле существовать не может. Таким образом, в идеальном проводнике , Поэтому, тело идеальной проводимости, находящееся в ЭМ поле, джоулевых потерь в поле не вносит.

Учтем явление гистерезиса в линейных изотропных средах. Если в выражениях, изученных ранее применить преобразования Фурье для векторов ЭМ поля и для функций, под знаком интеграла, то умножая результат на и интегрируя полученное выражение по t от до, учитывая значение интеграла Фурьефункции, получаем:

;; (39).

где и являются комплексными функциями частоты.

Учитывая, что, где, , получаем при отсутствии линейного магнитного гистерезиса:

(40).

; ;

Если ее представить в показательной форме:, то называется тангенсом угла — электрических потерь. Он определяется отношением активной части плотности тока в веществе к его реактивной части.

При отсутствии линейного электрического гистерезиса = 0 имеем т. е. тангенс угла электрических потерь при этом определяется только отношением плотностей токов проводимости и смещения.

Проводимости проводников и диэлектриков могут отличаться на много порядков. Проводимости металлов (серебра, латуни, меди, железа и др.) превосходят проводимости хороших диэлектриков (полистирола, слюды) на 18−22 порядка в широком диапазоне частот. На рис. 2 приведены (экспериментальные) графики зависимостей проводимостей и относительных диэлектрических проницаемостей от частоты / для глины (1), песка (2), пресной (3) и морской (4) воды при температуре 20° С (В[ — влажность 4%, В₂ — влажность 15%). Как видно из графиков, диэлектрическая проницаемость и удельная проводимость, кроме частоты, зависят от температуры и влажности вещества.

Рис. 2 Графики частотной зависимости 1.