Изучение экономико-математических методов и их применения в управленческом учете

Содержание Введение

1. Общая характеристика и классификация экономико-математических методов

2. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем хозяйственной деятельности

3. Метод дисконтирования

4. Оптимизационные методы анализа и принятий решений

5. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений, в расчетах и цен Заключение Список литературы Приложения

Введение

На современном этапе развития управленческого учета одним из приоритетных направлений является расширение объемов информации, используемой для принятия управленческих решений. Чтобы обеспечить устойчивый рост организации, перед руководителем стоит задача не только рассчитать возможную прибыль и себестоимость выпускаемой продукции, исходя из собственного потенциала организации, но и спрогнозировать финансово-хозяйственную деятельность с учетом параметров внешней среды. Вследствие этого для эффективного управления необходимо использование таких методов, которые смогут учесть максимально возможное число факторов, способных оказать влияние на деятельность организации. В сложных ситуациях процесс принятия обоснованных решений достигается путем использования научного подхода к этому процессу. В настоящее время широкое использование экономико-математических методов является важным направлением совершенствования управленческого учета. Это определяет актуальность и практическую значимость выбранной темы проведение исследования.

Целью данной курсовой работы является изучение экономико-математических методов и их применения в управленческом учете.

В соответствии с поставленной целью в работе необходимо решить следующие задачи:

· раскрыть значение экономико-математических методов для принятия управленческих решений;

· осветить количественные методы анализа и их использование для принятия управленческих решений;

· рассмотреть использование корреляционно-регрессивного анализа для оценки влияния факторов на результативный показатель;

· описать модели линейного программирования, применяемые в управленческом учете.

Теоретической и методологической основой написания курсовой работы послужили учебники и учебные пособия по экономике, управленческому учету, математическим методам, моделированию, программированию, экономическому анализу.

экономика математический балансовый моделирование

1. Общая характеристика и классификация экономико-математических методов Математические методы, применяемые в анализе хозяйственной деятельности можно систематизировать по различным признакам. Наиболее простая классификация экономико-математических методов, это по трем признакам:

1) по содержанию метода

2) по содержанию задачи экономического анализа;

3) по содержанию аналитической деятельности

В таблице 1 приведена примерная классификация экономико-математических методов в соответствии с наиболее часто применяемыми разделами современной математики.

Таблица 1 — Классификация экономико-математических методов

Математическая задача экономического анализа может быть решена одним из большинства методов, поэтому приведенная классификация условна. Например, задачи управления запасами могут решаться с применением теории массового обслуживания и методами математического программирования. При сетевом управлении и планировании можно использовать самые разнообразные методы. Понятие «исследование операций» иногда определяется настолько широко, что охватывает большое количество экономико-математических методов.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, обосновании планов, проектов, балансовых расчетах и т. д.

Выделение методов классического математического анализа на схеме обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например методов математической статистики и математического программирования, но и отдельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен при помощи дифференцирования и интегрирования.

Широкое распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики и теории вероятностей. Эти методы применяются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы как основное средство изучения массовых, повторяющихся явлений играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы есть практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа. [13]

Для изучения одномерных статистических совокупностей используются вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный и факторный анализ.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии — экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа «затраты — выпуск». Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации — главные особенности матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.

Математическое программирование — важный раздел современной прикладной математики. Методы математического (прежде всего линейного) программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности произведенных ресурсов и т. п. [2]

Под исследованием операций имеются в виду разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Цель — такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. [5]

Экономическая кибернетика позволяет анализировать экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы кибернетического моделирования и системного анализа.

Эвристические методы (решения) — это неформализированные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, опыта, экспертных оценок специалистов и т. д. [9]

2. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем хозяйственной деятельности Стохастический анализ — это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой. Так если случайная величина Хфункция двух групп случайных величин Z и v, X=f (Z₁, Z₂,…, Z_n; v₁, v₂,…, v_n), а случайная величина Y — функция двух групп случайных величин Y=Y (Z₁, Z₂,…, Z_n; v₁, v₂,…, v_n), то между X и Y есть стохастическая связь. [8]

В основе построения стохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значений изучаемых экономических показателей. Предпосылкой для применения стохастического подхода моделирования связей служит качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей) и варьирования признаков по хозяйственным объектам и периодам.

Стохастическое моделирование можно применять в анализе хозяйственной деятельности, если есть возможность составить совокупность наблюдений. Моделирование ведется методами математической статистики, которые позволяют исследовать опосредованные причинно-следственные связи показателей производственно-хозяйственной деятельности с факторами и условиями производства. Детерминированное моделирование в данном случае не всегда возможно. Благодаря математико-статистическим приемам можно обойтись без специальных экспериментов. [21]

В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:

· Изучение наличия и тесноты связей между функцией и факторами, а также между факторами;

· Ранжирование и классификация факторов экономических явлений;

· Выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;

· Сглаживание динамики изменения уровня показателей;

· Изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;

· Количественное изменение информативных показателей;

· Количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных управлений).

Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа.

Корреляция заключается в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ происхождения связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями — как факторный. Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимностей между признаками/

При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная — аргумент) другая (зависимая переменная — функция) принимает строгое значение.

Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного.

Проблема измерения связи имеет две стороны: выяснение формы и тесноты. При определении формы связи выявляется изменение средней величины результативного признака в зависимости от изменения факторного. Выбор тех или иных показателей тесноты корреляционной связи зависит от ее формы. Под формой связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между рассматриваемыми признаками. Различают связь прямую, при которой с ростом (снижением) факторного признака у результативного обнаруживается тенденции к увеличению (уменьшению), и обратную, когда с увеличением (уменьшением) факторного признака результативный снижается (увеличивается). [19]

Форма корреляционной зависимости характеризует тенденцию, проявляющуюся в изменениях рассматриваемого признака с изменением признака-фактора. Если наблюдается тенденция равномерного возрастания или убываний значений признака, то зависимость называется прямолинейной, в противном случае — криволинейной.

Уравнивание корреляционной связи (уравнение регрессии) — аналитическое. С его помощью выражается связь между признаками (иногда форма связи). Различают прямолинейное (прямая линия) и криволинейное (парабола, гипербола) уравнения.

Линии на графиках, изображающие тенденции в изменения признака, коррелируемого с признаком-фактором, называются линиями регрессии. В них находит графическое выражение форма связи.

При использовании корреляционно-регрессивного приема анализа модель изображается в виде уравнения регрессии типа

y=f (x),

где у — зависимая переменная (результативный признак или функция от ряда факторов-аргументов);

х — независимые переменные (факторы-аргументы). Парной корреляцией называется корреляционная зависимость между двумя признаками.

Простейшим уравнением, характеризующим прямолинейную зависимость между двумя признаками, служит уравнение прямой линии:

(1)

где х и у (х) — соответственно независимый и зависимый признак;

a и b — параметры уравнения.

Уравнение прямой линии описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением признака-фактора происходит равномерное возрастание или убывание значений зависимого признака (Рисунок 1). [1]

Количество наблюдений при прямолинейной зависимости должно составлять не менее 6. В качестве примера прямолинейной зависимости будут приведены данные об изменении фондовооруженности и производительности труда (Таблица 2)

Таблица 2- Исходные данные для определения зависимости между фондовооруженностью и производительностью труда

При планировании производительности труда важно установить темпы ее роста в зависимости от увеличения фондовооруженности.

Связь между производительностью и фондовооруженностью труда можно выразить в виде уравнения прямой линии:

(2)

где n — число наблюдений;

a — постоянная величина, независимая от изменения данного фактора.

Для выяснения связи рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

(3)

Коэффициент корреляции по абсолютной величине может принимать значения в пределах от 0 до 1. Если между двумя показателями не существует связи, коэффициент равен 0, если связь тесная, — он близок к 1.

Если коэффициент корреляции равен 1, значит, результативный признак полностью зависит от признака-фактора, т. е. по существу корреляционная зависимость совпадает с функциональной. Следовательно, чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь между явлениями и наоборот.

Для нахождения неизвестных параметров a и b решим систему так называемых нормальных уравнений:

(4)

Величина xy находится умножением значений х на y и последующим суммированием произведений.

Для исчисления величины следует значения х возвести в квадрат и полученные результаты суммировать.

Числовые значения ху, х, у, рассчитываются на основании фактических данных из Таблицы 2.

В результате подстановки данных в систему уравнений получаем:

54,5= 8а + 15,4b;

106,6 = 15,4а + 29,9b.

Отсюда, а = -5,9; b = 6,6.

Значит, уравнение, представляющее связь между фондовооруженностью и производительностью труда работающих, имеет вид у (х)=6,6х-5,9.

Следовательно, повышение фондовооруженности труда на 1000 руб. приводит к росту его производительности на 6600 руб. Эти данные учитываются при перспективном и текущем планировании роста производительности труда.

Использование множественной корреляции в экономическом анализе. В зависимости от количества отобранных факторов различают парные и многофакторные модели. Из многофакторных используется следующие модели:

Линейные);

Степенные ();

Логарифмические (

Они удобны тем, что их параметры (a_i) экономически интерпретируется.

В экономических расчетах предпочтение отдается линейным моделям, что обусловлено следующими причинами:

1. Относительная простота и меньший объем вычислений;

2. Массовые экономические процессы, как правило, подчиняются закону нормального распределения, которому свойственны линейные формы связи.

Факторы, включаемые в корреляционно-регрессивную модель, отбираются в несколько приемов: логический отбор в соответствии с экономическим содержанием; отбор существенных факторов по оценки их значимости по t-критерию Стьюдента либо F-критерию Фишера; последовательный отсев незначимых факторов. При расчетах множественной корреляции применяется степень точности 5%, что соответствует вероятности Р=0,05. [15]

Корреляция рядов динамики имеет некоторые особенности. Кроме кратковременных колебаний (годовых, квартальных, месячных), в ряду имеется еще один компонент — общая тенденция в изменения показателей ряда (тренд). При этом имеет место автокорреляция — зависимость между последовательными (то есть соседними) значениями уровней динамического ряда.

Для определения выровненного ряда (тренда) с целью его последующего исключения чаще всего прибегают к механическому сглаживанию и аналитическому выравниванию методом наименьших квадратов.

Механическое сглаживание ведется с помощью скользящей, или подвижной средней. Этот способ состоит в вычислении каждой новой средней одного члена ряда слева и присоединении одного члена ряда слева и одного справа.

Кроме статистических характеристик (таблица 3) рассчитываются также их ошибки. Величина ошибки отражает диапазон, в котором находится та или иная статистическая характеристика.

Таблица 3 — Оценка статистических характеристик, введенных переменных и их оценок

Матрица коэффициентов парной корреляции. Для измерения тесноты связи между факторами и результативным показателем исчисляют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции. Они обладают следующими свойствами: -1? r ?1;

если r = 0, линейная корреляционная связь отсутствует;

если [r] = 1, между переменными х и у существует функциональная зависимость;

связь считается сильной, если [r]? 0,7. При [r]? 0,3 — связь слабая.

Парные коэффициенты рассчитываются для всевозможных пар переменных без учета влияния других факторов. Чтобы учесть взаимное влияние факторов, исчисляются частые коэффициенты, которые отличаются от первых тем, что выражают тесноту корреляционной зависимости между двумя признаками при устранении изменений, вызванных влиянием других факторов модели.

Матрица критериев некоррелированности необходима для выбора наиболее значимых факторов, чье совместное влияние формирует его величину. При этом исключению обычно подлежат факторы, которые при парном коррелировании друг с другом дают высокий линейный коэффициент, превышающий по абсолютной величине 0,85. Наличие такой связи между двумя факторами называют коррелиарностью, а между несколькими — мультиколлинеарностью. На основании данных матрицы машина отвергает или не отвергает гипотезу о мультиколлинеарности.

Коэффициенты множественной детерминации представляют собой квадрат коэффициента корреляции. Он показывает, на сколько процентов вариация результативного показателя зависит от влияния избранных факторов.

Вектор значений Фишера используется для оценки множественного коэффициента корреляции и уравнения регрессии. Расчетные значения вектора значений сравниваются с табличными.

Для оценки значимости факторов необходима матрица значений распределения Стьюдента. Расчетные значения здесь также сравниваются с табличными. После этого начинается шаговый регрессивный анализ. Его результатом становится уравнение регрессии [16]:

(6)

где а₀ — свободный член уравнения;

х₁, х₂,…, х_n — факторы, определяющие результатный показатель в его единицах измерения.

Далее следует группа оценочных показателей уравнения регрессии в целом:

F — отношение Фишера для оценки множественного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом; d_э -отношение Дарбина-Уотсона для определения наличия автокорреляции в рядах динамики; э — коэффициент эластичности — отношение изменения (в процентах) одного признака при изменении на 1% другого. Показатели эластичности вычисляются в статике и динамике; бета-коеффициенты и другие статистические характеристики, которые не интерпретируются с экономической точки зрения. [4]

Интерпретацию выходной информации можно последить на примере корреляционного анализа фондоотдачи. Для построения на первом этапе отобраны следующие факторы:

Х₁ — удельный вес машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов, %;

Х₂ — электрооворуженность рабочих, тыс. кВт•ч;

Х₃ — уровень использования производственной мощности, %.

Числовые характеристики показателей представлены в таблице 4.

Таблица 4 — Матрица исходных данных

Для оценки колеблемости показателей необходимы их статистические характеристики (Таблица 5)

Данные таблицы показывают, что незначительным колебаниям подвержены факторы Х₃ и Х₁; средняя колеблемость присуща функции Y, значительная — фактору Х₂. Однако коэффициенты вариации показателей не превышают 33%, что свидетельствует об однородности исходной информации.

Коэффициенты асимметрии говорят о правосторонней асимметрии распределения рядов Х₁ и Х₃ и о левостороннем распределении рядов Х₂ и У.

Величина эксцесса для всех показателей не превышает 3, что подтверждает низковершинное распределение вариационных рядов. Указанные коэффициенты интерпретируются геометрически.

Таблица 5 — Матрица статистических характеристик

Далее анализируется матрица коэффициентов парной корреляции (таблица 6).

Таблица 6 — Матрица парных коэффициентов корреляции

В данном примере наиболее тесная связь наблюдается между показателями фондоотдачи (У), идеального веса активной части фондов (Х₁) и уровня загрузки производственной мощности (Х₃). Парные коэффициенты корреляции соответственно составили 0,937 778 и 0,92 272.

Расчет парных коэффициентов корреляции выявил слабую связь фондоотдачи с электровооруженностью труда Х₂ — 0,9 361.

Гипотеза о наличии мультиколлинеарности отвергается, т. е. все показатели относительно независимы.

Для рассматриваемого примера вектор коэффициентов множественной детерминации равен: У = 0,9002; Х₁ = 0,9043; Х₂ = 0,0100; Х₃ = 0,8820. Вектор интерпретируется следующим образом: изменение (вариация) функции (У) на 90,02% зависит от изменения избранных факторов-аргументов; фактора Х₁ — на 90,43% от изменения функции (У) и остальных факторов и т. д.

В таблице 7 приведены частные коэффициенты корреляции. Они показывают связь каждой пары факторов в чистом виде при неизменном значении остальных параметров.

Таблица 7 — Матрица частных коэффициентов корреляции

Частные коэффициенты корреляции ниже парных. Это говорит о том, что чистое влияние факторов слабее, чем влияние оказываемое отдельными факторами во взаимодействии с остальными.

Статистическая значимость, надежность связи, выраженная частными коэффициентами корреляции, проверяется по t-критерию Стьюдента путем сравнения расчетного значения с табличными при заданной степени точности (таблица 8).

Таблица 8

Обычно в практике экономических расчетов степень точности берется равной 5%, что соответствует вероятности р = 0,05. В таблице приведены критические значения t-критерия Стьюдента для вероятности р = 0,05 и 0,01 при различном числе степеней свободы, которые определяются как (n-1), где n — число наблюдений. [12]

В данном примере при числе степеней свободы 40 — 1 = 39 табличное значение tтабл. = 2,021. Расчетные значения t-критерия (первая графа таблицы) для факторов Х₁ и Х₃ оказались выше табличных, что свидетельствует о значимости этих факторов для анализируемой функции. Фактор Х₂ как незначимый для функции должен быть исключен из дальнейших расчетов.

Далее на ЭВМ проводится шаговый анализ с постепенным включением в модель избранных факторов по критерию значимости. На каждом шаге рассматриваются уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации, F-критерий, стандартная ошибка оценки и другие показатели. После каждого шага перечисленные оценочные показатели сравниваются с рассчитанными на предыдущем шаге. Уравнение регрессии будет тем точнее, чем ниже величина стандартной ошибки (таблица 9).

Таблица 9 Результаты шагового регрессионного анализа

Если добавление последующих факторов не улучшает оценочные показатели, а иногда и ухудшает их, необходимо остановиться на том шаге, где показатели наиболее оптимальны.

Результаты шагового анализа представлены в Таблице 9 свидетельствуют о том, что сложившиеся взаимосвязи наиболее полно описывает двухфакторная модель, полученная на втором шаге: у = У = -3,085 = 0,0774 Х₁ + 0,0234 Х₃.

Статистический анализ данного уравнения регрессии подтверждает, что оно значимо: фактическое значение F-критерия Фишера равно 166,7, что значительно превышает Fтабл. = 3,25. Табличное значение F-критерия находится по заданной вероятности (р = 0,95) и числе степеней свободы для столбца таблицы (m — 1), где m — число параметров уравнения регрессии, включая свободный член, и для строки таблицы (n — m), где n — число наблюдений. Например, F-табличное находится на пересечении столбца 2 (3 — 1) и строки 37 (40 — 3) и равно 3,25 (Приложение А).

Коэффициент множественной корреляции, равный 0,9488, свидетельствует о тесной взаимосвязи между фондоотдачей и удельным весом активной части основных фондов, а также уровнем использования производственной мощности. Величина коэффициента множественной детерминации 0,9001 свидетельствует о том, что изменение детерминации на 90,01% зависит от изменения учтенных факторов.

Параметры уравнения регрессии интерпретируется следующим образом: коэффициент регрессии при Х₁ (0,0774) показывает, что увеличение удельного веса машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов на 1% ведет к росту фондоотдачи на 7,74 копейки. Повышение уровня загрузки мощностей на 1% поднимает фондоотдачу на 2,34 копейки.

В случае обратной связи, т. е. при уменьшении изучаемой функции в связи с ростом фактора-аргумента, коэффициент регрессии имеет знак «минус».

Свободный член уравнения a₀ = -3,085 экономически не интерпретируется. Он определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат. Численное значение коэффициентов эластичности отражает, на сколько процентов изменится функция при изменении данного фактора на 1% (имеется в в иду относительный прирост, а не абсолютный) приведет к росту фондоотдачи на 1,65%; улучшение уровня использования мощности на 1% повысит фондоотдачу на 1,3%.

По абсолютной величине бета-коэффициентов можно судить о том, в какой последовательности находятся факторы по реальной возможности улучшения функции. Для нашего примера последовательность переменных выглядит следующим образом:

Отношение Дарбина (коэффициент Дарбина-Уотсона) равно 1,215. Значит, в рядах динамики имеется автокорреляция.

Заключительную матрицу данных полностью характеризуют соответствующие заготовки (по столбцам):

1. У — фактическое.

2. У — расчетное.

3. Отклонение (Уфакт-Урасч).

4. Доверительные интервалы (границы, выход за пределы которых имеет незначительную вероятность).

Для устранения автокорреляции модель пересчитана по приростным величинам. В результате получено следующее уравнение регрессии: У = -0,0079 + 0,0345; Х₃ + 0,0475 Х₁. Оно значимо: величина F-критерия равна 178,3. Коэффициент Дарбина составляет 2,48, т. е. близок к 2, что говорит об отсутствии автокорреляции. Коэффициент множественной корреляции (0,9518) выше, чем рассчитанный в первом случае. Величина коэффициента множественной детерминации также выше (0,9060). В окончательном виде уравнение регрессии интерпретируется таким образом: повышение уровня загрузки (производственной мощности) на 1% приведут к росту фондоотдачи на 3,45 копейки, а удельного веса машин и оборудования в общей стоимости основных производственных фондов — на 4,75 копейки.

Обработка данных при постановлении множественных моделей корреляционно-регрессивной зависимости производится на ЭВМ по типовой программе.

Исходные данные должны быть достоверны, экономически интерпретируемы, количественно соизмеримы. Расчеты оформляются в виде таблице, в которой первая графа отражает число наблюдений n, вторая (у) — результативный показатель, каждая следующая (х) — факторы в любом порядке, так как факторы машина вводит в процессе шагового анализа по значимости критерия.

При заполнении таблицы исходных данных следует указывать одинаковое количество знаков после запятой в пределах одной графы. Для предотвращения ошибок необходимо использовать данные с возможно большим числом значащих цифр (не менее 5). Процентные отношения требуется давать с точностью до 0,001.

В Приложении Б приведены значения F-критерия для р = 0,95 в зависимости от числа степеней свободы: (m-1) — для столбца и (n-m) — для строки, где m — число параметров уравнения регрессии, включая свободный член; n — число наблюдений.

3. Метод дисконтирования Чистый дисконтированный доход (Net Present Value, NPV) — это текущая стоимость денежных потоков инвестиционного проекта, с учетом ставки дисконтирования, за вычетом инвестиций. Суть показателя состоит в сравнении текущей стоимости будущих поступлений от реализации проекта с инвестиционными вложениями в проект.

Процедура метода определения показателя NPV, состоит в следующем:

1. Определяется текущая стоимость затрат для реализации проекта — размер инвестиций (Investment)

2. Определяется текущая стоимость будущих денежных поступлений от реализации проекта посредством расчета денежного потока (Cash Flow)

3. Определяется текущая стоимость каждой суммы будущих денежных поступлений от реализации проекта, исходя из ставки дисконтирования периода возникновения доходов.

4. Текущая стоимость инвестиционных затрат сравнивается с суммарной текущей стоимостью доходов.

Основная посылка, лежащая в основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеют временную цену, т. е. сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящее время, обладает большой ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница может быть выражена как процентная ставка (р), характеризующая относительные изменения за определенный период (обычно равный году).

Смысл проведения расчетов методом дисконтирования состоит в том, чтобы определить сумму, которую следует заплатить сегодня с тем, чтобы получить планируемую отдачу от инвестиций в будущем.

Для применения метода дисконтирования об объекте инвестирования необходимо знать следующие исходные данные: величиной инвестиции, планируемые величины денежных потоков или чистого дохода, норма дисконтирования, срок проекта.

При расчете денежных притоков и оттоков учитывается не только поступления денежных средств от операционной и инвестиционной деятельности, но и потоки от финансовых результатов.

Чистый поток наличности (NCF — Net Cash Flow) определяется как разность между притоками и оттоками наличности от операционной (производственной) и инвестиционной деятельности минус издержки по финансированию проекта.

Чистый дисконтированный доход (NPV) определяется как сумма NCF за расчетный период.

Коэффициент дисконтирования для приведения чистых денежных потоков к начальному периоду определяется по формуле:

где r — ставка дисконтирования (норма дисконта);

i — шаг расчета (месяц, квартал, год) i=1, 2,…, n

Значение коэффициентов дисконтирования можно также получить из специальных таблиц дисконтированных величин.

Норма дисконта отражать прибыль инвестора, которую он мог бы получить при инвестициях в другой проект. Она является минимальной нормой прибыли, ниже которой инвестор счел бы свои вложения не выгодными. [3]

Чистый дисконтированный доход характеризует интегральный эффект от реализации проекта и определяется как величина, полученная дисконтированием разницы между всеми готовыми оттоками и притоками реальных денег, накапливаемых в течении горизонта расчета проекта Т (при постоянной ставке процента отдельно для каждого года):

где NCF_i — чистые потоки наличности в годы t = 1,2,3,…, T.

Чистый дисконтированный доход как критерий для оценки эффективности инвестиций достаточно корректен и экономически обоснован. Во-первых, NPV учитывает изменение стоимости денег во времени. Во-вторых, NPV зависит только от прогнозируемого чистого денежного потока и альтернативной стоимости капитала. В-третьих, NPV имеет свойство аддитивности, т. е. NPV нескольких инвестиционных проектов можно складывать, так как все они выражены в сегодняшних деньгах.

Рассмотрим на примере расчет показателя NPV. Ставка дисконтирования — 12% годовых для всех периодов. Шаг расчета — один год.

Данные из таблицы 10 рассчитывались следующим образом:

28 016 = 31 378 / (1+0,12)28 574 = 35 843 / (1+0,12)²

26 181 = 36 782 / (1+0,12)³24 727 = 38 908 / (1+0,12)⁴

Таблица 10 — Расчет значений дисконтированых денежных потоков PV

Чистый денежный поток — данные из отчета о движении денежных средств составляет 100 000 USD

Далее следует расчет значения NPV:

NPV = 107 498 — 100 000 = 7 498 USD

Таблица 11 — Значение показателя NPV

4. Оптимизационные методы анализа и принятия решения в экономике Многие задачи, с которыми приходится сталкиваться экономисту в повседневной практике при анализе хозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный. Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходя из здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденный вариант является наилучшим.

В современных условиях даже не значительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических систем оптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу для принятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяют в одну группу под общим названием «оптимизационные методы анализа и принятия решения в экономике».

Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего необходимо построить адекватную ей математическую модель, т. е. формализовать цель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или) неравенств. [7]

В общем случае математическая модель оптимизационной задачи имеет вид:

(12)

при ограничениях

(13)

где R — отношения равенства, меньше или больше.

Если целевая функция и функции, входящие в систему ограничений, линейны относительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Если же целевая функция или система ограничений не линейна, такая задача называется задачей линейного программирования.

В основном, на практике, задачи нелинейного программирования путем линеаризации сводятся к задаче линейного программирования. Особый практический интерес среди задач линейного программирования представляют задачи динамического программирования, которые из-за своей многоэтапности нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационных моделей, для которых в настоящее время имеется хорошее математическое и программное обеспечение. [10]

Модели и методы решения задачи линейного программирования. Среди оптимизационных моделей и методов, используемых в теории экономического анализа, наиболее широкое распространение получили модели линейного программирования, которые решаются с помощью универсального приемасимплексного метода. Для современных ПЭВМ имеется ряд пакетов прикладных программ, которые позволяют решать любые задачи линейного программирования достаточно большой размерности. Одновременно с решением исходной задачи указанные пакеты прикладных программ могут решать двойственную задачу, решение которой позволяет проводить полный экономический анализ результатов решения исходной задачи.

Решение задачи линейного программирования на ПЭВМ рассмотрим на примере задачи об оптимальном раскрое материалов. По результатам решения проведем полный экономико-математический анализ с использованием теории двойственности.

Пусть имеется 200 кг полотна шириной 86 см и 300 кг — шириной 89 см. Из него необходимо раскроить и сшить мужские куртки 44, 46, 52 и 54 размеров. Они должны быть изготовлены в следующем соотношении к размерам: 44 — 25,38%; 46 27,88%; 52 — 24,54%; 54 — 25,54%. Итого — 100%.

Общий расход полотна, а также отходы, получаемые при раскрое полотна, приведены в Таблице 10 и 11.

Количество курток, которые выпускало предприятие в течение месяца, показано в таблице 12.

Необходимо определить насколько рациональным оказался раскрой, а также какие размеры изделий целесообразнее раскраивать из полотна указанной ширины, чтобы сократить отходы.

Таблица 12 — Нормативный расход полотна на единицу изделия, г.

Таблица 13 — Отходы, получаемые при раскрое полотна на единицу изделия, г.

Таблица 14 — Количество курток, сшитых в течение месяца, шт.

Решить данную задачу можно с использованием инструментальных средств МВ Excel и сделать экономический анализ полученного решения. Как правило, решение конкретной задачи включает в себя следующие этапы:

· составление математической модели;

· присвоение элементам модели определенных «имен»;

· составление матричной модели с поименованными элементами;

· ввод и корректировка исходных данных;

· решение задачи на ЭВМ;

· экономический анализ полученного решения.

Применительно к нашему примеру на первом этапе вводим условные обозначения, необходимые для решения задачи.

Здесь х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇, х₈, обозначают соответственно количество изделий (штук) определенного размера, раскроенных из полотна шириной 86 и 89 см. Умножив количество изделий на нормы отхода, получим общую величину отходов производства. Они должны быть минимальны. Тогда целевая функция имеет вид:

min: F (x) = 66,27 х₁ + 75.5х₂ + 78.4х₃ + 95.6х₄+ 94.2х₅ + 97.49х₆ + 105.7х₇ + 108.77х₈.

Задача состоит в нахождении таких хj (j=), при которых целевая функция (12) достигнет минимума и выполняются следующие условия:

520,27х₁ + 553,5х₂ + 597,4х₃ + 605,4х₄ = 200 000;

526,42х₅ + 553,49х₆ + 627,7х₇ + 647,77х₈ = 300 000;

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ -x₉=0;

х₁ + х₅ — 0,2538х₉ = 0;

х₂ +х₆ — 0,2788х₉ = 0;

х₃ + х₇ — 0,2420х₉ = 0;

х₄ + х₈ — 0,2254х₉ = 0;

.

Здесь х₉ — суммарный выпуск курток. Тогда означает, что полотна шириной 86 см должно быть израсходовано 200 кг, а полотна шириной 89 см — 300 кг.

На втором этапе каждой переменной, ограничениям, целевой функции и вектору ограничений (коэффициенты свободных членов) присваиваются «имена», которые должны включать не более восьми символов. Удобно, чтобы имена были информативными, так как при этом облегчается использование выходных отчетов.

Таблица 15 — Элементы модели и присваемые им имена

На третьем этапе составляем матричную модель с именованными элементами модели.

На четвертом этапе введем исходные данные в ЭВМ. При этом ввод осуществляется в соответствии с инструкцией к имеющемуся пакету прикладных программ.

При завершении ввода исходной информации возможна ее распечатка для визуального контроля. По результатам контроля производится корректировка исходной информации и переход на режим расчета.

Пятый этап. Решение задачи Возможно в двух режимах: решение прямой задачи; решение прямой и двойственной задач. При этом решение можно производить поэтапно, с выдачей промежуточных результатов алгоритма симплекс-метода, по которым можно судить о качественном процессе поиска оптимального решения. По завершении результатов расчета устанавливается режим распечатки (как прямой задачи, так и двойственной).

Так, в режиме расчета прямой задачи получим следующее решение, предварительно округлив результаты до целых:

ПР 1 = 150; ПР 2 = 0; ПР 3 = 204; ПР 4 = 0; ПР 5 = 64; ПР 6 = 235; ПР 7 = 0; ПР 8 = 190; ПР 9 = 843.

Отходы = 75 743; Полотно 1 = 200 000; Полотно 2 300 = 000.

Следовательно, необходимо раскроить из полотна шириной 86 см 150 курток 44 размера и 204 куртки 52 размера, а из полотна шириной 89 см — 64 куртки 44 размера, 235 курток 46 размера и 190 курток 54 размера. Общий объем производства составит 843 куртки. Суммарные отходы при таком варианте раскроя составят 75 743 г, а ресурсы будут использованы полностью.

В режиме решения двойственной задачи получим значения двойственных оценок ресурсов:

Полотно 1 = 0,12 996 Полотно 2 = 0,16 616

Как видим, двойственные оценки объемов ресурсов отличны от нуля, следовательно, они «дефицитны». Их абсолютная величина говорит о том, что увеличение объема ресурса на единицу приводит к качественному изменению целевой функции (1.1) на величину этой оценки. Следовательно, оценки можно считать количественной мерой дефицита ресурсов: чем больше оценка, тем к большему эффекту приводит увеличение объема использования данного ресурса.

Одновременно с этим получим двойственные оценки производимой продукции:

ПР 1 = 0; ПР 2 = 4,70 818; ПР 3 = 0; ПР 4 = 4; ПР 5 = 0; ПР 6 = 0; ПР 7 = 0,73 815; ПР 8 = 0.

Здесь двойственные оценки ПР 2, ПР 4, ПР 7 принимают нулевые значения. Абсолютные значения этих оценок говорят о том, что если мы все же будем раскраивать соответствующие изделия, потери от отходов будут только увеличиваться на величину оценки от раскроя одной единицы изделия. Следовательно, раскраивать куртки 46 и 54 размеров из полотна 86 см нецелесообразно, точно так же как и куртки 52 размера — из полотна шириной 89 см.

Теперь сопоставим нормативные отходы при традиционном варианте раскроя с отходами при оптимальном варианте (таблица 16).

Таблица 16

Из таблицы видно, что наиболее рационален раскрой из полотна шириной 86 см изделий 44 и 52 размеров, а из полотна шириной 89 см — 44, 46 и 54 размеров. Такой способ раскроя уменьшает отходы, увеличивает выпуск изделий, прибыль предприятия и его рентабельность.

Отметим, что в современных пакетах прикладных программ для решения задач линейного программирования симплекс-методом предусмотрены режимы расчета так называемых интервалов устойчивости, как для ограниченных ресурсов, так и для переменных величин, принимающих ненулевые значения. Экономический смысл этих интервалов состоит в том, что изменение объемов ресурсов и значений переменных в пределах этих интервалов не изменяет структуру оптимального плана.

Это позволяет предприятию проводить наиболее рациональную политику приобретения дополнительных ресурсов.

5. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений и в расчетах затрат и цен Балансовая модель — это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях.

Пусть, например, известно, что каждое предприятие наряду с основным производством имеет вспомогательное, включающее в себя ряд цехов. Вспомогательные цехи оказывают услуги друг другу и основному производству. Величина себестоимости работ и услуг каждого вспомогательного цеха складывается из работ (услуг) других вспомогательных цехов. Чтобы определить затраты, связанные с использованием данным цехом работ (услуг) других цехов, надо наряду с объемом предоставленных работ (услуг) знать их себестоимости. Но, в свою очередь, определение этих себестоимостей невозможно без предварительного исчисления себестоимости работ (услуг), которые цехи получили друг от друга. [18]