Движение частицы в вязкой среде

На частицу, движущуюся в сплошной среде, действует сила вязкого трения (3.32). Предположим, что условия задачи таковы, что другие силы на частицу не действуют или их действием можно пренебречь. В таком случае второй закон Ньютона можно записать в виде.

По формуле (4.22) найдем мощность силы вязкого трения:

Подставив это выражение в уравнение (4.25), будем иметь.

Из этого равенства видно, что производная от кинетической энергии по времени отрицательна. Это означает, что кинетическая энергия частицы, движущейся в вязкой среде, убывает со временем.

Уравнение (4.29) нетрудно преобразовать к виду.

где 0 = а/т. Интегрирование этого уравнения приводит к равенству.

разрешив которое относительно скорости, получим зависимость где v₀ — постоянная интегрирования такая, что.

т.е. v₀ есть модуль скорости частицы в момент времени t = 0.

Величина

называется временем релаксации. За это время скорость частицы уменьшается в е раз, т. е.

Пусть v₀ есть вектор скорости частицы при t = 0. С помощью этого вектора решение уравнения движения (4.28) можно записать так:

В том, что эта функция является решением уравнения (4.28), легко убедиться ее непосредственной подстановкой в это дифференциальное уравнение.

Учитывая, что г = t7, найдем функцию.

где г (0) = г₀- Эта функция описывает прямую линию в пространстве, которая представляет собой траекторию движения частицы.

Запишем полученное решение в координатной форме. Для этого введем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы при t = 0.

частица находилась в начале координат, а ее скорость была направлена вдоль оси х:

В таком случае будем иметь.