Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

t

Теорема. Корреляционная функция интеграла Y (t) = JX (s)ds

о.

от стационарной случайной функции равна

Доказательство. Известно, что корреляционная функция.

t

интеграла Y (t) = JX (s)ds от случайной функции Х (1.) равна двойо ному интегралу от ее корреляционной функции (см. гл. 23, § 17, теорема 2):

Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов, т. е. K_x(s_v s₂) = k_x(s₂ — 5,), получим.

Вычисление этого интеграла весьма громоздко, поэтому ограничимся указаниями: перейти к новым переменным т = s₂ — s, ?, = = s₂ + 5,; начертить новую область интегрирования, ограниченную прямыми т = т =, X =.

Рис. 28.

= Е, — 2t_v т = -Е, + 21₂ и выполнить интегрирование по Е,. Двойной интеграл по области OABD можно вычислить как разность двойных интегралов по областям О АС и BDC.

При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по т и перейти к новой переменной т' = -т (рис. 28).

t

Следствие. Дисперсия интеграла Y (t) — J X (s)ds от стацио-

о.

парной случайной функции равна

Действительно, положив Г, = t₂ = t в формуле (*), получим.

После приведения подобных членов окончательно имеем.

Пример. Задана корреляционная функция & (т) =1/(1 + т²) стационарной.

<

случайной функции Х (1). Найти дисперсию интеграла Y (t) = jA'(.v)c/.s.

о Решение. Воспользуемся формулой (**):

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:

Заметим, что функция Y (t) не стационарна, так как ее дисперсия не постоянна, а зависит от аргумента t.