Потенциальная энергия взаимодействия частиц

Сила, которая действует на одну из частиц системы (скажем, на частицу под номером г) со стороны всех других частиц этой системы, равна сумме внутренних сил, действующих на рассматриваемую частицу:

Характеризующие взаимодействие частиц внутренние силы могут быть как консервативными, так и неконсервативными. Внутренние силы называются консервативными, если существует функция.

зависящая от радиус-векторов частиц, т. е. от расположения частиц в пространстве, и называемая потенциальной энергией взаимодействия частиц, такая, что внутренняя сила, действующая на i-ю частицу, равна.

Чтобы представить себе, какой может быть функция (5.66), рассмотрим сначала систему, состоящую только из двух частиц. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия частиц будет зависеть только от двух векторов г и г₂:

По определению функция W такова, что внутренние силы, действующие на частицы 1 и 2, равны соответственно Если частицы сферически симметричны, то можно утверждать, что энергия их взаимодействия должна зависеть только от расстояния II между ними:

где.

Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем проекции этих сил на ось х:

Нетрудно доказать, что.

Аналогично можно найти проекции векторов /12 и /21 на оси у и z. Полученные формулы дают возможность записать векторные выражения.

где Из формул (5.70) видно, что силы взаимодействия сферически симметричных частиц являются центральными и подчиняются третьему закону Ньютона:

Вернемся теперь к рассмотрению системы, состоящей из произвольного числа частиц. Предположим, что частицы взаимодействуют попарно, т. е. энергия взаимодействия двух частиц не зависит от расположения других частиц в пространстве. Пусть.

есть энергия взаимодействия частиц с номерами г и к, где - расстояние между этими частицами. Очевидно, что.

Сумму Потенциальная энергия (5.34) определяет силу взаимодействия частиц:

Из этой формулы следует, что для любой пары частиц силы их взаимодействия будут центральными и ньютоновскими:

назовем энергией взаимодействия i-й частицы со всеми другими частицами системы. Насколько такое название оправдано, можно судить по следующим равенствам:

Как видно из этих равенств, внутренняя сила /,•, действующая на *-ю частицу, равна с обратным знаком градиенту ее энергии (5.73), что соответствует определению потенциальной энергии.

Предположим, что потенциальная энергия (5.66) взаимодействия всех частиц системы равна сумме энергий взаимодействия различных пар частиц:

Чтобы убедиться в справедливости этого предположения, необходимо проверить, удовлетворяет ли функция (5.75) определению (5.67). Слагаемые в формуле (5.75) для любого номера * можно сгруппировать так, что первые N — 1 из них будут зависеть от вектора г, а все другие нет:

Поэтому с учетом равенства (5.74) будем иметь

Что и требовалось доказать.

В некоторых случаях удобно суммировать энергии Wik по всем возможным значениям индексов i и к. Полученная таким образом сумма будет вдвое больше энергии W взаимодействия частиц, так как энергия каждой пары войдет в эту сумму дважды. Поэтому можно записать.