Анализ систем управления ансамблем траекторий с учетом случайного изменения структуры. 
Сравнение со спектральным методом

В данном параграфе в помощью статистического алгоритма моделирования систем с распределенными переходами, построенного в параграфе 4.2 пособия [31], будет решена задача анализа систем управления ансамблем траекторий с учетом случайного изменения структуры. Результаты расчетов будут сравниваться со спектральным методом. Параметры статистического алгоритма будут выбираться согласно условной оптимизации статистического алгоритма.

Вопросы, связанные с актуальностью разработки и применения малых искусственных спутников стандарта CubeSat (наноспутников и пикоспутииков), достаточно подробно освещены в работах [109,133.190]. В качестве примеров можно привести международную систему Disaster Monitoring Constellation, позволяющую производить мониторинг катастроф по всему миру; проект AAUSAT, предназначенный для получения детальных изображений Земли; норвежский спутник nCube, отслеживающий перемещение кораблей, но территориальным водам Норвегии: спутник UWE-1 (Вюрцбургский университет), позволяющий анализировать использование технологий TCP/IP для телеметрических и телекомандных данных с учетом проблем задержек и помех; японский проект XI, созданный для демонстрации и тестирования систем спутниковой платформы с использованием готовых элементов, включая проверку аппаратуры спутника в условиях реального орбитального полета.

Учет возможных отказов управляющего устройства (например, срывов стабилизации) в случайные моменты времени приводит к необходимости использования моделей систем со случайной структурой [96].

Рассматривается модельная задача анализа системы стабилизации малого искусственного спутника, находящегося под действием гравитационного и управляющего моментов, с учетом возможного отказа управляющего устройства. Отметим, что задача рассматривается в достаточно общей постановке, а именно как задача анализа многомерных нелинейных систем управления ансамблем траекторий [135] с учетом случайного изменения структуры системы.

Для решения этой задачи применяются два метода: метод статистического моделирования [152], основанный на моделировании траекторий системы управления, и спектральный метод [126], в основе которого лежит переход к детерминированной задаче нахождения плотности распределения вектора состояния как наиболее полной характеристики. Оба метода позволяют оценивать любые вероятностные характеристики выходных процессов, в том числе и плотность вероятности распределения. Во многих реальных задачах точное решение неизвестно. Поэтому совпадение численных решений, полученных разными методами, позволяет судить о точности решения задачи. Аналогичный подход будет использован при анализе стохастических мультиструктурых систем с распределенными переходами в параграфе 2.3.

Расчет задачи анализа системы стабилизации Возмущенное движение спутника, находящегося под действием гравитационного и управляющего моментов, в плоскости орбиты описывается следующими уравнениями:

где в угол отклонения оси спутника по отношению к радиус-вектору центра масс, q — угловая скорость вращения вокруг центра масс, Г2 угловая скорость обращения спутника по круговой орбите, L и /3 — константы, зависящие от конструкции спутника, v — управление [84].

В [133] показано, что при малых колебаниях спутника с учетом возможного отказа управляющего устройства его движение приближенно описывается уравнениями.

где т = at. в = 72/х и q = 6у2, а числа а. 7 и S выбраны таким образом, что

Случай к = 1 соответствует режиму нормального функционирования, а случай к = 2 — режиму отказа, т. е. срыву стабилизации.

Будем предполагать, что начальные условия ую = у (0) и t/20 = 2/2 (0) принадлежат некоторому ограниченному множеству ?2 Е Я², характеризующему неопределенность задания начальных данных, и описываются заданной плотностью распределения ро (2/1> 2/г)* При отсутствии информации о законе распределения величин ую и у20 можно положить.

В случайные моменты времени возможен отказ управляющего устройства с последующим восстановлением режима нормального функционирования. Интенсивности отказа и восстановления в общем случае зависят от времени и задаются функциями Ai2(?) и A2i (?) соответственно [96]. В начальный момент времени система функционирует нормально с вероятностью Pq¹^ < 1. Таким образом, параметр к принимает значения дискретного случайного процесса s (t) с двумя состояниями.

Задача анализа системы стабилизации заключается в нахождении ненормированных плотностей распределения.

вектора состояния у = [у у-2]^т по заданным характеристикам: начальной плотности Po (yuV2)i вероятности Р<^1} нормального функционирования системы в начальный момент времени, интенсивностям Аi2(t) и А21 (t).

Ненормированные плотности распределения удовлетворяют следующей системе обобщенных уравнений Фоккера Планка Колмогорова:

В качестве конкретного численного примера рассмотрим задачу нахождения вероятностей РW (t) работы системы в режимах нормального функционирования и срыва стабилизации, маргинальных плотностей вероятности Pi (t, у*), математических ожиданий т*(?) и вторых начальных моментов Ф_г-(?) координат вектора состояния:

где p (t, у, j/2) = р*^(t, 7/i, т/2) + Р(?, ?У1> ?/г) — плотность вероятности вектора состояния. Пусть ую и 7/20 являются независимыми случайными величинами, имеющими усеченное нормальное распределение с параметрами таю = —0.3, Do = 1 и т₂о =0.1, D₂о = 1 соответственно, т. е.

Управляющее воздействие задано соотношением.

и в среднем обеспечивает минимальный расход энергии, а также стабилизацию спутника в момент времени t = 1, т. е. математические ожидания величин 7/i (l) и 7/2(1) равны нулю. Интенсивности отказа и восстановления заданы функциями Xi₂(t) = 0.2 и X₂(t) = 0.1 соответственно. В начальный момент времени система функционирует нормально с вероятностью Pq^]) = 0.95.

При решении задачи методом статистического моделирования использовался обобщенный метод типа Розенброка (2) из параграфа 1.1 с шагом h = 0.01; число моделируемых траекторий N = 10⁶; для построения гистограммы отрезок [—4,4] изменения координат вектора состояния равномерно разбивался на 100 частей. Оценки функционачлов.

Рис. 2.6. Вероятности режимов работы системы стабилизации.

от решения и гистограммы вычислялись одновременно. Время счета составило 3 минуты. Погрешность вычисления функционалов от решения составляет O (h) (для получения такой точности достаточно было брать N = 10⁴). Выбранные параметры задачи (Л^г = 10⁶. h = 10″², п_д = 100) являются оптимальными параметрами для получения наилучшей оценки гистограммы при выбранном шаге h = 10″² и гарантируют погрешность вычисления гистограммы в норме пространства L-2([—оо.оо]) порядка O (h). Дальнейшее уменьшение шага гистограммы или шага численного метода точность вычисления гистограммы не увеличивает. Дополнительные расчеты проводились при h = 10″² и п_д = 500. а также при h = 10^_3 и п_д = 500. Погрешность гистограммы не уменьшается, хотя время вычислений увеличивается (при h = 10″³ в 10 раз).

При получении искомых характеристик спектральным методом в качестве базисной системы для представления функций времени были выбраны полиномы Лежандра (порядок усечения Lq = 8), а в качестве базисных систем для представления функций координат вектора состояния — функции Эрмита (порядки усечения L = L2 = 12). Время счета составило 8 минут. Дальнейшее небольшое увеличение порядков.

Рис. 2.7. Математические ожидания координат вектора состояния.

усечения спектральных характеристик (L = L2 = 16) практически не отражается на точности решения.

Результаты расчетов представлены на рис. 2.6−2.8 (тонкой линией показаны характеристики, полученные методом статистического моделирования, а толстой характеристики, полученные спектральным методом). Графики демонстрируют практически полное совпадение численных решений, полученных обоими методами, для математических ожиданий координат вектора состояния и небольшие расхождения для вторых начальных моментов. Эти расхождения обусловлены тем, что в спектральном методе искомые ненормированные плотности распределения аппроксимируются функциями, представляющими собой произведение плотности нормального распределения по щ, у-2 и полинома переменных t, у, у-2, порядок которого определяется усечениями спектральных характеристик. При этом неизбежны колебания плотности вблизи пуля, и условие нормировки оказывается лишь приближенным, что в первую очередь отражается на точности вычисления моментов вектора состояния (особенно моментов высокого порядка) при небольших порядках усечения спектральных характеристик.

Рис. 2.8. Вторые начальные моменты координат вектора состояния.

Из проведенных численных экспериментов видно, что оба метода обеспечивают достаточную для приложений точность аначЛшза систем управления ансамблем траекторий с учетом случайного изменения структуры. Точность оценок, полученных методом статистического моделирования, зависит от шага интегрирования h и числа моделируемых траекторий Л^г. Точность оценок, полученных спектральным методом, зависит от выбора базисных систем и порядков усечения Lq, …, L_n.

Погрешность метода статистического моделирования можно оценить, не пользуясь точным решением. Поэтому погрешность спектрачльного метода можно контролировать с помощью метода статистического моделирования. На данной задачи при сравнимых погрешностях время счета спектрального метода существенно больше (почти в три раза), чем у метода статистического моделирования.