Деление окружности на равные части. 
Построение правильных многоугольников

Определение центра дуги (рис. 2.14). Наметить на дуге окружности три произвольно расположенные точки А, В и С. Соединить точки прямыми АВ и ВС для получения хорд данной дуги. Точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд (см. построение на рис. 2.1), определяет положение центра исходной дуги.

Определение центра окружности (рис. 2.15). В заданной окружности провести две не параллельные между собой хорды АВ и CD. Через середины хорд провести перпендикуляры (см. построение на рис. 2.1), пересечение которых определит положение центра исходной окружности.

Деление окружности на 3,6 и 12 частей (рис. 2.16). В окружности заданного радиуса R провести через центр О взаимно перпендику;

Рис. 2.15. Определение центра Рис. 2.14. Определение центра дуги окружности.

дярные оси АВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках / и 2. Отрезок 1—2 — искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В2. В свою очередь, отрезки А1 = А2 и Cl = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности.

Деление окружности на 4 и 8 частей (рис. 2.17). Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Отрезки АС= СВ = = BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность. Для деления окружности на восемь частей построить из центра О перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжить.

Рис. 2.16. Деление окружности на 3, 6 и 12 частей.

Рис. 2.17. Деление окружности на 4 и 8 частей

Рис. 2.19. Деление окружности на 7 частей

Рис. 2.18. Деление окружности на 5 и 10 частей.

его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок AM — искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Деление окружности на 5 и 10 частей (рис. 2.18). Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD и разделить радиус ОВ пополам в точке М. Из точки М, как из центра, провести дугу радиусом МА до пересечения ее с диаметром АВ в точке К. Отрезок СК равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок ОК — десятиугольника. Для деления окружности на пять частей достаточно дугой радиуса СК сделать засечки на исходной окружности в точках 1,2 и далее; используя точки 1 и 2 как центры, тем же.

Рис. 2.20. Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность радиусом отметить точки 3 и 4. Точки С, 1, 3, 4, 2 — вершины правильного вписанного пятиугольника.

Деление окружности на 7 частей (рис. 2.19). Из точек Л и В концов горизонтального диаметра АВ провести дуги окружности радиусом R = АО = ВО и отметить точки их пересечения 1 и 2с исходной окружностью. На пересечении хорды 1 — 2 с радиусом OD отметить точку М. Отрезок ОМ равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения последовательно отметить на исходной окружности точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 радиусом R = ОМ.

Деление окружности на п равных частей (рис. 2.20). Провести в окружности заданного радиуса R диаметр АВ и разделить его на заданное число равных частей (на рис. 2.20 п = 9). Из точек А и В, как из центров, провести дуги окружности радиуса 2R до их пересечения в точках К и М. Используя полученные точки Ки М в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные точки деления диаметра АВ до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2,… 9 — искомые точки деления окружности на заданное число частей.

Погрешность построения описанным способом — в пределах 0,01 R, что достаточно для практических целей. Деление окружности на п равных частей можно также выполнить, используя данные табл. 2.2, где приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность единичного диаметра. Для получения номинального размера стороны л-угольника достаточно табличное Таблица 2.2. Длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность диаметром d = 1.

Рис. 2.21. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

значение длины стороны при выбранном п умножить на числовое значение диаметра окружности.

Построение правильных многоугольников по заданной длине одной стороны (рис. 2.21). Сторону АВ разделить точкой О пополам и восстановить в этой точке перпендикуляр к АВ. Из точек А и В радиусом R = АВ провести дуги до их пересечения в точке /. Треугольник А1В — искомый.

Для построения квадрата надо восставить в точках, А и В перпендикуляры к АВ и продолжить их до пересечения в точках С и D с дугами R = АВ. Квадрат ACDB — искомый.

В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками / и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной АВ.

Последовательно откладывая расстояние /—3 отточки / вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6… которые будут служить центрами окружностей для построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д. с заданной стороной АВ. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки, А до соответствующих центров.

Для определения с достаточной для практики точностью длина стороны а_п (п — число сторон многоугольника) может быть вычислена в зависимости от заданной высоты Н фигуры по соотношениям а₃= 1.115Н; а₄ = 0,707Н; а₅ = 0,650Н; а₆ = 0,577Н; а₈ = 0,414Н.

По данным табл. 2.3 можно по заданной длине а стороны определить радиус R описанной окружности.