Методика изучения квадратных уравнений

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство связей, устанавливаемых с её помощью в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает особое положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, имея уже определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Во всех современных школьных учебниках алгебры термин и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие квадратного уравнения вводится посредством явного определения, поэтому необходимо организовать работу по усвоению его формальных признаков.

В учебнике Ш, А, Алимова и лр. «Алгебра. 8 класс» (М., 2012) рассматривается текстовая задача: «Основание прямоугольника больше высоты на 10 см, а его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника».

При решении этой задачи учащиеся получают уравнение.

которое называют квадратным, так как в левой его части стоит квадратный трехчлен. Затем дастся определение.

Опр. /. Квадратным уравнением называется уравнение.

где а, Ь, с- заданные числа, а Ф 0, д: — неизвестное.

Необходимо акцентировать внимание учащихся на то, что уравнение другого вида (например, х² + 10bc = 24) уже не является квадратным. Иногда учащиеся ошибочно считают, что уравнение называется квадратным, потому что неизвестное х стоит в квадрате, и к квадратным относят уравнения вида.

Для усвоения понятия квадратного уравнения и предупреждения подобных ошибок целесообразно предлагать упражнения на распознавание объектов, принадлежащих данному понятию.

Последовательность изучения материала, относящегося к квадратным уравнениям в разных учебниках различна. Например, по учебнику Ш. А. Алимова и др. «Алгебра. 8 класс» (М., 2012) последовательность следующая:

• 1. Квадратное уравнение и его корни; уравнение х² = d, теорема о корнях этого уравнения.
• 2. Неполные квадратные уравнения ах~ = 0 (я ^ 0), ах~ + с = 0 (а Ф 0, с Ф 0) и ах² + Ьх = 0 {а Ф 0, b Ф 0) и способы их решения.
• 3. Метод выделения полного квадрата.
• 4. Решение квадратных уравнений (вывод формул корней квадратного уравнения).
• 5. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета (прямая и обратная) и теорема о разложении квадратного трехчлена на множители.
• 6. Уравнения, сводящиеся к квадратным (биквадратное и дробно рациональное).
• 7. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

В учебнике Ю. Н. Макарычева и др. «Алгебра. 8 класс» (М., 2012) последовательность изучения несколько иная {составить самостоятельно/), к тому же рассматривается графический способ решения квадратных уравнений.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению дг² — а = 0 или х² = а. Но в любом случае используется выделение полного квадрата в трехчлене ах + Ьх + Су сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений и составляющих его алгоритм, проводится сначала на конкретных примерах. Сообщается, что при решении квадратного уравнения по формуле надо поступить следующим образом:

• 1) вычислить дискриминант D и сравнить его с нулем;
• 2) если D > 0 или D = 0, то следует воспользоваться формулой корней, если же D < 0, то записать, что корней нет.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если D < 0, то квадратное уравнение ах² + Ьх + с = 0 не имеет действительных корней; если D — О, то имеется один корень, равный х = ——; если D > 0, то уравнение имеет два.

• 2 а
• -Ь ± Jb² — 4 ас

корня: Х •> =—-«.

2 а

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится по указанному выше алгоритму: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах" + Ьх + с = 0, приводятся ещё формулы корней уравнения х² + +рх + q = 0 или х² + 2рх + q = 0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, поэтому их полезно тоже рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при их изучении необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виста. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виста, а нс на прямую, как часто делают ученики. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай D = 0, надо условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Это удобно при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры К квадратным уравнениям сводятся дробно-рациональные, биквадратные и алгебраические уравнения. Сюжеты текстовых задач также становятся более разнообразными, возрастает сложность их перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьного курса математики.