Уравнение Шредингера. 
Геометрическая турбулентность

В [18−21] представленная модель квантовой гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой.

(18).

Здесь — углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (18) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, которую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния .

Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (18). Уравнение Эйнштейна в форме (1) является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений:

(19).

Уравнения поля в метрике (18) сводятся к одному уравнению второго порядка [18−21].

(20).

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем.

(21).

Отметим, что уравнение (20) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :

в области уравнение (20) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (20) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (20) имеет параболический тип.

Покажем, что квантовая механика Шредингера соответствует такой области уравнения состояния, в которой, а уравнение (20) имеет параболический тип. Действительно, уравнение поля (20) сводится в этом случае к параболическому уравнению.

(22).

В случае метрики Шварцшильда уравнение состояния имеет вид [18−21].

(23).

Здесь — масса центрального тела.

В пространстве четырех измерений находим, что. Далее предположим, что. Полагая, получим.

(24).

Уравнение Шредингера непосредственно следует из уравнения (24), если предположить, что энергия системы слабо изменяется по сравнению с энергией покоя, а уравнение состояния удовлетворяет соотношению.

(25).

Здесь некоторая константа. Тогда, интегрируя уравнение (25) находим, что в этом случае.

(26).

Следовательно, уравнение (24) принимает вид.

(27).

Легко видеть, что при уравнение (27) имеет только комплексные решения. Поэтому рассмотрим в общем случае комплексные решения уравнения (27). Извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения, получим.

(28).

Предположение о малости изменения энергии по сравнению с энергией покоя означает, что можно разложить подкоренное выражение в левой части (28), в результате находим.

(29).

Представим решение уравнения (29) в виде.

(30).

Подставляя выражение (30) в уравнение (29), получим в первом приближении.

(31).

Уравнение (31) можно сравнить с уравнение Шредингера.

(32).

Для согласования уравнений (31) и (32) в случае сферической симметрии достаточно будет положить.

(33).

Последнее условие можно рассматривать как калибровку, накладываемую на потенциал.

Отметим формальное сходство уравнения (20) и уравнения (13). Очевидно, что метрика (20), описывающая волны в случае квантовой теории, с равным успехом может быть использована для описания волн и в случае теории Максвелла. В частности, можно смоделировать электромагнитное излучение атомов. Различие же двух теорий заключается в поведении коэффициента вязкости, который в случае теории Максвелла является вещественным параметром, тогда как в теории Шредингера этот параметр является мнимым [32].