Методика введения понятия функции

Введение

понятия функции, также как и любого другого понятия осуществляется поэтапно.

/ этап. Мотивация введения понятия.

Здесь можно подчеркнуть практическую значимость понятия функции.

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

II этап. Выделение существенных свойств понятия.

Этот этап реализуется путем рассмотрения примеров.

Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна а см, а его площадь равна S см². Для каждого значения переменной а можно найти соответствующее значение переменной S.

Так, если а = 3, то S = З² = 9; если а = 15, то S = 15² = 225; если а = 0,4, то S = 0,4² = 0,16.

Зависимость переменной S от переменной а выражается формулой S = а² (по смыслу задачи а > 0).

Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а — зависимой переменной.

П р и м е р 2. Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения.

Обозначим: I — время движения (в часах), S — пройденный путь (в км). Для каждого значения переменной /, где / >0, можно найти соответствующее значение переменной S. Например, если t = 0,5, то S= 50 • 0,5 = 25; если / = 2, то S = 50 • 2 = 100; если / = 3,5, то 5= 50 • 3,5 = 175.

Зависимость переменной S от переменной / выражается формулой.

5=50/.

В этом примере / является независимой переменной, а 5 — зависимой переменной.

Пример 3. На рис. 37 изображен график температуры воздуха в течение суток. С помощью этого графика для каждого момента времени / (в час.), где 0< / < 24 можно найти соответствующую температуру Р (в градусах Цельсия). Например, если / = 6, то Р = -5; если /= 12, тоР = 2; если /= 17, тоР = 3.

Здесь / является независимой переменной, а Р- зависимой переменной.

Рис. 37.

П р и м е р 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой п обозначен номер зоны, а буквой т — стоимость проезда в рублях):

По этой таблице для каждого значения п, где п = 1, 2, …9, можно найти соответствующее значение т. Так, если л = 2, тот =15; если /? = 6, то /77 = 40; если п = 9, то т = 85.

Здесь /7 является независимой переменной, amзависимой переменной.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

На этом этапе учащиеся знакомятся не только с описанием понятия функции, но и со способами се задания: аналитическим (с помощью формулы), графическим и табличным.

Следующие этапы формирования понятия функции (усвоение определения понятия, использование понятия функции в конкретных ситуациях и установление связи с другими понятиями) реализуются посредством специальных упражнений. Все упражнения можно разделить на три группы.

I группа — упражнения, в которых описана некоторая зависимость, надо выразить формулой эту зависимость и для данных значений аргумента найти соответствующие значения функции.

II группа — упражнения, в которых некоторая данная зависимость изображена графически. Требуется с помощью графика по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции и обратно, по данному значению функции найти значение аргумента; найти область определения функции; назвать несколько значений аргумента, при которых значение функции положительно (отрицательно); выяснить, принадлежит ли графику функции точка с заданными координатами, и т. д.

III группа - упражнения, в которых функциональная зависимость задана таблицей. Требуется указать, какие числа служат значениями аргумента и какие значениями функции. Заполнить таблицу, если известны некоторые значения функции и некоторые значения аргумента.

Введение

понятия графика функции можно начать с рассмотрения примера.

Пусть задана функция у = ——, где -2? х? 3. По этой формуле для лю;

х + 3

бого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Возьмем, например, целые значения аргумента. Получим:

если х = -2, тоу = 6; если х = -1, тоу = 3; если х = 0, то у = 2; если х= 1, то у — 1,5; если х = 2, то у =1,2; если х = 3, то у = 1.

Каждую из найденных пар значений х и у изобразим в координатной плоскости, считая значение х абсциссой, а соответствующее значение у ординатой (рис. 38).

Выбирая другие значения х из промежутка от -2 до 3 и вычисляя соответствующие им значения у по формуле у = ——, будем получать другие х + 3.

пары значений х и у. Каждой из этих пар также соответствует некоторая точка координатной плоскости. Все такие точки образуют график функции, заданной формулой у = ——,.

х + 3.

где -2 < х < 3 (рис. 38). После этого можно сформулировать определение графика функции.

Рис. 38.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Затем необходимо рассмотреть примеры на построение графика функции, заданной формулой на определенном промежутке. Алгоритм построения выглядит следующим образом:

• 1) составляется таблица соответствующих значений аргумента и функции;
• 2) в координатной плоскости отмечаются точки, координаты которых указаны в таблице;
• 3) отмеченные точки соединяют плавной линией.

При этом учащимся сообщается, что «чем больше отмстим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены, тем точнее будет построен график функции».

Построенный график можно использовать для выполнения упражнений второго типа: «По графику функции найти: а) значение функции при х = 3;

б) значения х, при которых значение функции равно 5″. Учащимся подробно объясняется, как выполнить это упражнение.

График дает наглядное представление о зависимости между величинами. Так, по графику температуры воздуха можно узнать, когда температура равна нулю, была выше нуля, ниже нуля, возрастала, убывала и т. д. Интересные упражнения образного (графического) характера на освоение понятий функции и графика функции приведены в статье А. Я. Цукаря [12].

Последовательность изучения конкретных функций в курсе алгебры основной школы следующая: 7 класс — линейная функция; S класс — квадратичная функция; 9 класс — степенная функция и как функции натурального аргумента — арифметическая и геометрическая профессии. Рассмотрим подробнее методическую схему изучения этих функций и методику изучения линейной функции.