Лекция XIII МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

• 1. Сущность и значение метода координат в школьном курсе математики.
• 2. Простейшие задачи в координатах на плоскости:
  • а) нахождение координат середины отрезка;
  • б) вычисление длины вектора по его координатам;
  • в) нахождение расстояния между двумя точками по их координатам.
• 3. Уравнения фигур на плоскости.
• 4. Особенности применения метода координат.
• 5. Методика формирования координатного метода решения задач.

Сущность и значение метода координат в школьном курсе математики

В настоящее время многие специалисты из разных областей знания используют в своей работе прямоугольные декартовы координаты. Координаты дают возможность наглядно-геометрически при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой (врач строит график температуры больного в процессе болезни, экономист — график роста производства и т. д.).

Что же такое координаты?

Координаты — это числа, по которым определяется положение точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Координаты — это числа, взятые в определенном порядке. Название «декартовы координаты» наводят на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Р. Декартом. В действительности прямоугольные координаты употреблялись в геометрии еще до начала нашей эры. Древний математик александрийской школы Агшолоний Пергский (III — II вв. до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он при помощи них определял известные уже в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Апполоний задавал их уравнениями: у² =рх (парабола);

у² =рх + —х² (гипербола);

Я у² = рх — —х² (эллипс), (р и q — положительные числа).

я

Апполоний. конечно, нс записывал уравнения в этой алгебраической форме, так как в те времена не существовало ещё алгебраической символики. Он описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями: у в его терминологии есть площадь квадрата со сторонами у; рх есть площадь прямоугольника со сторонами р и х и т. д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола (в переводе с грсч. — «равенство»): квадрату² имеет площадь, равную площади прямоугольника рх. Гипербола по-гречески означает избыток: площадь квадрата у² превосходит площадь прямоугольника рх, эллипс по-грсчсски означает недостаток: площадь квадрата у² меньше площади прямоугольника рх.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма (1601 — 1665) и Рене Декартом (1596 — 1650). В их формулировках расстояния до координатных осей могли быть только положительными числами или нулем. Идея о том, что одно или оба эти расстояния можно также считать и отрицательными принадлежит Исааку Ньютону (1643 — 1727). Г. В. Лейбниц (1646 — 1716) первым назвал эти расстояния «координатными».

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Декарт построил аналитическую геометрию, в которой сошлись математические открытия, с трудом слагавшиеся в течение тысячелетий. Работа Р. Декарта «La Geometric», в которой излагались основные идеи аналитической геометрии на плоскости, была опубликована в 1637 г.

Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Р. Декарта достигли высокой степени совершенства, но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними была довольно слабая связь.

Что же дает нам введение понятия координаты?

• 1. В математическом отношении устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой или между парами чисел и множеством точек плоскости (между множеством троек чисел и множеством точек пространства).
• 2. В познавательном отношении мы получаем новые способы решения ряда известных задач.
• 3. В методическом отношении: например, координатная прямая используется для введения сравнения чисел, правил сложения чисел; координатная плоскость используется для геометрической интерпретации решений уравнений или неравенств, содержащих переменные.

В чем сущность координатного метода? Сущность координатного метода заключается в том, что устанавливается соответствие между множеством точек прямой (плоскости, пространства) и множеством чисел (пар чисел, троек чисел).

Л. С. Атанасян в пробном учебнике «Геометрия 6−8» (М., 1981) отмечает, что «введение системы координат позволяет изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. В этом и состоит сущность метода координат».

В чем эффективность координатного метода?

• 1. Координатный метод позволяет решать геометрические задачи средствами алгебры, а некоторые алгебраические задачи средствами геометрии.
• 2. Использование координатного метода приводит к результатам более простым и коротким путем.
• 3. Координатное решение задачи позволяет охватить все его частные случаи, при этом для него не характерно выполнение дополнительных построений.
• 4. Использование координатного метода способствует развитию геометрической интуиции (правильный выбор системы координат и т. д.).
• 5. Координатный метод обогащает алгебру геометрической наглядностью.
• 6. Использование координатного метода способствует развитию вычислительных и графических навыков.

В соответствии с программой по математике для средней школы координаты впервые появляются в 6−7-х классах при изучении следующего алгебраического материала: «Изображение чисел на прямой, координаты точки. Формула расстояния между двумя точками с заданными координатами. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки».

В учебнике геометрии А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др. используется один и тот же вариант изложения метода координат на плоскости. Однако роль координатного метода в этих учебниках нс одинакова. Если учебник Л. С. Атанасяна и др. ограничивается лишь незначительным использованием координат в изложении геометрии (определение тригонометрических функций, основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, теорема косинусов), то в учебнике А. В. Погорелова координатный метод является инструментом изучения геометрии. Он широко используется при доказательстве теорем и определении понятий (с помощью координатного метода изложены теория преобразований и векторы).

Схема изложения метода координат в учебнике А. В. Погорелова такова: введение координат, координаты середины отрезка, расстояние между точками, уравнение окружности, уравнение прямой, координаты вектора.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. последовательность такова: координаты вектора, простейшие задачи в координатах, уравнения окружности и прямой.

В пробных учебниках А. Д. Александрова и др. координаты появляются лишь в десятом классе, здесь рассматривается прямоугольная система координат, формула для расстояния между точками, задание сферы и шара в системе координат, задания фигур уравнениями и неравенствами, уравнение плоскости, другие системы координат.

Итак, учащиеся в курсе планиметрии знакомятся с тремя важными формулами. Это формулы для нахождения:

• 1) координат середины отрезка;
• 2) длины вектора по его координатам;
• 3) расстояния между двумя точками с заданными координатами.