Предисловие. 
Численные методы

Вычисления с давних времен играют важную роль в жизни человеческого общества. Еще в глубокой древности, на заре человеческой культуры, возникло понятие числа — и люди начали считать, измерять, вычислять. Возникновение понятий «число», «геометрическая фигура», а также задачи измерения было обусловлено экономическими потребностями человека. Необходимость подсчитывать урожай, измерять объем сосудов, определять размеры земельных участков, производить расчеты при строительстве крупных сооружений, выполнять астрономические расчеты для наблюдения за временем и для контроля направления движения по суше и воде при перевозке товаров — вот неполный перечень задач, которые люди должны были решать с древних времен.

С развитием человеческого общества развивались как математические понятия, так и математические методы, что позволяло решать все более сложные экономические задачи, выполнять все более сложные вычисления.

В последние десятилетия как следствие бурного научно-технического прогресса, возрастает роль математических методов во всех областях человеческой деятельности, в том числе в экономике. Применение математики и информационных технологий в экономике во многих случаях связано с выполнением вычислений. Практически любое серьезное достижение в экономике есть результат сотрудничества специалистов различных направлений. Важный вклад в общий результат вносят специалисты по информационным технологиям, владеющие математическими, и в первую очередь численными, методами.

Настоящее учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта и предназначено для студентов, обучающихся по инженерно-техническим, естественнонаучным и экономическим специальностям.

б В результате освоения дисциплины «Численные методы» обучающийся должен освоить:

трудовые действия

• • владение современным математическим языком, основными математическими методами, в том числе реализуемыми с помощью компьютерной техники;
• • навыками систематизации изучаемых методов;
• • приемами оценки погрешностей используемых методов;
• • навыками использования компьютерной техники для решения прикладных задач;
• • умением ставить цель исследования и выбирать методы решения;

необходимые умения

• • применять знания фундаментальных основ, подходы и методы математики в обучении и профессиональной деятельности, в интегрировании имеющихся знаний, наращивании накопленных знаний;
• • обосновывать выбор метода решения прикладной задачи;
• • применять полученные знания к решению практических задач;
• • использовать математическую литературу для самостоятельного изучения прикладных вопросов в области математики и информатики;
• • применять полученные знания при освоении других дисциплин и при решении прикладных задач, выбирать конкретные численные методы решения различных задач;

необходимые знания

• • современного математического аппарата;
• • характеристики и свойства изучаемых объектов;
• • основных методов численного решения математических моделей практических задач;
• • правил учета погрешностей;
• • ограничений изучаемых математических моделей.

Цель предлагаемого учебного пособия — помочь студентам в освоении одноименного курса. Следует отметить, что при изучении численных методов часто встает вопрос о той вычислительной среде, в которой предлагается их осваивать. Авторы в данном пособии используют среду Microsoft Excel, поскольку, во-первых, она широко распространена, а во-вторых, через ручной ввод формул в ячейки таблиц студенты могут лучше понять суть изучаемых численных методов, что позволит будущим выпускникам в их дальнейшей профессиональной деятельности использовать изученные методы при решении реальных практических задач экономики в различных вычислительных средах. И это входит в компетенцию выпускника вуза по вышеназванным направлениям.

В практике экономических расчетов приходится выполнять главным образом приближенные вычисления. При решении экономической задачи, за исключением задач бухгалтерского учета, вряд ли когда можно получить точный числовой ответ, да и на практике точность не имеет никакого практического смысла. Так, например, вряд ли с точностью до одной единицы товара можно определить его количество на полках супермаркета, поскольку данный товар может либо подвозиться, либо раскупаться. Или другой пример. Цены на товары в рыночной экономике не являются фиксированными: они меняются в зависимости от спроса и предложения, а также от магазина, в котором производятся покупки. На импортные товары цены изменяются в зависимости от курса доллара или другой иностранной валюты, да и многих других факторов. Таким образом, в экономических расчетах невозможно с точностью до копейки определить стоимостное выражение товарных запасов.

Математические операции тоже не всегда выполняются точно. Скажем, арифметические операции над не очень большими числами можно выполнять точно, без погрешностей, а вот извлечение корня, вычисление логарифма и многие другие операции можно вычислить только приближенно. В зависимости от того, откуда взяты числа и какова суть математических операций, которые мы производим, здесь может быть три случая:

• 1) возможно получить точный результат;
• 2) возможно получить лишь приближенный результат, но с любой заданной степенью точности;
• 3) возможно получить лишь приближенный результат, и причем с ограниченной степенью точности.

Из вышесказанного следует, что при решении широкого класса экономических задач необходимо:

• • учесть, с какой степенью точности можно взять исходные данные;
• • выяснить, с какой степенью точности требуется получить численный ответ;

• организовать вычисления так, чтобы получить результат с минимальными затратами времени и труда.

Все эти вопросы изучаются в рамках дисциплины «Численные методы» и рассматриваются в данном пособии. В книге излагаются основные теоретические положения изучаемого курса, приводятся примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы, задания к типовому расчету, контрольные вопросы и задания и список литературы.