Средние индексы. 
Статистика с элементами эконометрики

Агрегатные индексы как основная форма сводного индекса рассчитываются при условии, если заданы индексируемые величины и веса. Но если по какой-либо причине нет данных о ценах и физическом объеме за два временных периода, но имеются данные о стоимости произведенной продукции за базисный или отчетный период и есть возможность рассчитать или дана информация об индивидуальных индексах цены или физического объема производства продукции, то возможно исчислить сводные индексы по другой форме построения расчетов, которые будут тождественны агрегатным. Такие индексы называются средними, поскольку вычисляются как средние из индивидуальных индексов. Различают два вида средних индексов — арифметический и гармонический.

Средний арифметический индекс рассчитывается в случае, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые агрегатного индекса. Преобразование агрегатного индекса в средний арифметический чаще всего происходит для получения индекса физического объема. Индивидуальный индекс определяется по формуле, но если допустить, что данные о физическом объеме за отчетный период (д{) отсутствуют, то можно найти эту недостающую величину через произведение, т. е. Поскольку агрегатная формула индекса физического объема имеет вид:

то замена в числителе на вышеназванное произведение приведет к получению среднего арифметического индекса, тождественного агрегатному, а именно

Данную формулу можно упростить, определив долю стоимости отдельных видов продукции в общем объеме:

В этом случае формула среднего арифметического индекса будет иметь вид

Средний гармонический индекс определяется также на основе преобразования агрегатного и, чаще всего, такой индекс рассчитывается для индексов цен. Если при расчете агрегатного индекса цены

по условию примера либо задачи не имеются отдельные значения р_{ и <7_1? но даны их произведения, а также индивидуальные индексы цены г_р = Р/ р₀, то в знаменателе формулы агрегатного индекса величина р₀ заменяется на расчетное, т. е. р₀ = Р/Ь_р. Появляется возможность расчета сводного индекса цен — среднего гармонического, тождественного агрегатному, рассчитанного по формуле Пааше:

Эту формулу также можно преобразовать, введя величину она будет иметь вид.

Таблица 13.4.

Цена и количество продуктов за два периода.

Аналогично сказанному выше, можно рассчитать среднеарифметический индекс товарооборота:

В табл. 13.4 приводится расчет некоторых величин и на их основе определяются средние индексы.

На предприятии производится два продукта — «К» и «М». Представленная информация в двух первых графах (1 и 2) позволяет рассчитать индекс стоимости продукции по агрегатной форме:

или 147,44%, т. е. стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом составила 147,44%. Такой же результат можно получить на основе данных индивидуальных индексов, а также информации в гр. 6 и 7, но в этом случае необходимо рассчитать индекс стоимости, используя формулы средних индексов:

Этот же результат возможно получить, рассчитав доли стоимостей продуктов «К» и «М». По продукту «К» искомая доля составит:

т.е. 16,38%, а по продукту «М».

83,62% от всей произведенной стоимости продукции. Формула и расчет по ней будет иметь следующий вид:

т.е. стоимость продукции увеличилась в текущем периоде по сравнению с базисным на 47,44%. Далее рассчитаем средние индексы для изучения динамики физического объема и цены. Преобразование агрегатной формулы индекса физического объема (потребления), рассчитанного по методике Ласпейреса, в его среднюю арифметическую форму или в средний гармонический индекс, представим следующим образом:

Подставив численные значения в каждую формулу этого выражения, можно убедиться в данном тождестве:

или 112,97%. Как очевидно, увеличение физического объема продукции по всем представленным формулам — агрегатной, средней арифметической и средней гармонической дает один и тот же результат. В отчетном периоде имеется увеличение всего выпуска продукции на 12,97% по сравнению с базисным, при этом физический объем продукта «К» за этот период увеличился на 6,25%, а продукта «М» — на 14,29% (см. гр.4).

Далее определяется индекс цены, который может исчисляться следующим образом (если его представить по методике расчета Пааше):

В данном выражении агрегатная форма индекса преобразуется в средний арифметический индекс или в средний гармонический, в зависимости от имеющейся информации и благодаря введению индивидуальных индексов цены.

Подставив данные, но всем трем отношениям имеем один и тот же результат — 130,51%, т. е. увеличение цены на 30,51%.

По формуле Ласпейреса индекс цены.

Как очевидно, и в этом случае происходит преобразование одной формы индекса в другую, т. е. агрегатный индекс цены, благодаря введению индивидуальных индексов цены, может быть выражен в форме среднего арифметического или в форме среднего гармонического. Как было отмечено выше, выбор той или иной формулы определяется в первую очередь возможностями наличной информации. Подставим данные в формулы:

или 130,55%.

Индекс, рассчитанный по формуле Ласпейреса, всегда больше по своему численному значению индекса Пааше, в чем можно убедиться, сравнив полученные ответы. Рассчитывая сводный индекс цены, нельзя не принимать во внимание результаты индивидуальных индексов. Цена продукта «К» увеличилась на 33,33%, а продукта «М» — на 30,00% (см. гр. 5). Определение абсолютных приростов осуществляется аналогично сделанным ранее расчетам, т. е. путем вычитания из данных числителя величин знаменателя.

Использование средних индексов можно наблюдать также на примере построения индекса потребительских цеп (ИПЦ), который иначе называется индексом стоимости жизни. ИПЦ свидетельствует об изменении цен в динамике на товары и услуги, приобретаемые населением для непроизводственного потребления. Источником информации для формирования индекса потребительских цен являются бюджетные обследования, проводимые регулярно по всей стране, и наблюдения за изменениями цен и тарифов на потребительском рынке. ИПЦ рассчитывается по фиксированному набору потребительских товаров и услуг, и поскольку методология его расчета для многих стран едина, это позволяет производить международные сопоставления ИПЦ. Потребительский набор ИПЦ (409 групп товаров-представителей и платных услуг) состоит их трех составляющих: продовольственные товары (103 позиции), непродовольственные товары (222 позиции) и платные услуги, оказываемые населению (84 позиции). ИПЦ определяется регулярно, с недельной, месячной, квартальной, полугодовой и годовой периодичностью. По специальной методике эти данные агрегируются в несколько этапов с учетом региона сбора данных, но структуре потребления. На первом этапе определяются индивидуальные индексы цен по отдельным товарам и услугам по городу (наблюдение проводится в более чем 800 городах РФ), далее, с учетом территориальных весов (численности населения, проживающего в данном городе или ином территориальном пространстве), определяются агрегатные индексы цен по отдельным товарам и услугам в целом по городу, региону или по РФ. Затем на основе рассчитанных агрегатных индексов и данных об удельном весе расходов на их приобретение в общей сумме потребительских расходов населения определяются сводные индексы цен по продовольственным, непродовольственным товарам и услугам. На основе последних определяется сводный индекс ИПЦ по изучаемому региону или в целом по стране. Основной формула расчета является индекс цен Ласпейреса:

где 1_р индекс цен по определенному товару за определенный временной период; г/₀ — доля расходов по товару в общем объеме потребительских расходов за базисный период.

С помощью ИПЦ, свидетельствующем об изменение цен в динамике на товары и услуги, уточняется политика в части доходов населения, денежного обращения, изучается уровень инфляции. Источником информации для формирования индекса потребительских цен являются бюджетные обследования, проводимые регулярно по всей стране, и наблюдения за изменениями цен и тарифов на потребительском рынке. Потребительский набор для определения ИПЦ состоит из трех групп, куда входят продовольственные товары, непродовольственные товары и платные услуги. Кроме того, в него входят некоторые товары и услуги необязательного спроса, как, например, алкогольные напитки, ювелирные изделия из золота, автомобили и т. д.

Отбор товаров-представителей проводится в соответствии с Общероссийским классификатором экономической деятельности, продукции, услуг и платных услуг населению. Такой отбор проводится для расчета ежемесячной величины ИПЦ, в период с 23-го по 25-е число. Для еженедельного расчета ИПЦ используются товары-представители несколько иного набора (минимального), и регистрация цен на эти товары и услуги проводится лишь в крупных городах. Помимо данных о ценах для расчета ИПЦ требуется информация о структуре потребительских расходов населения за предыдущий период. Полученная информация агрегируется, что требует знания о весах и структуре цен потребляемых товаров и услуг. Индекс потребительских цен рассчитывается в соответствии с Основными положениями о порядке наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и платные услуги, оказанные населению, и определения индекса потребительских цен, утвержденными Постановлением Госкомстата России от 25 марта 2002 г. № 23.

Данные показатели имеют большое практическое применение при расчетах биржевых индексов. Они применяются при анализе ценных бумаг, являясь показателями прогнозирования состояния дел на фондовом рынке. Индексы позволяют изучить намечающиеся тенденции развития фондового рынка, своевременно реагировать на различные изменения, принимать необходимые действия в случае необходимости повышения деловой активности в экономике. К ценным бумагам относятся акции, облигации, опционы и др. Выделяют два вида биржевых индексов: интегральные и частные. Интегральный индекс характеризует состояние мирового фондового рынка в целом, в виде одного показателя. Он свидетельствует об основной тенденции движения курса акций, эту обобщенную характеристику дополняют частные индексы. По составу рассматриваемых единиц изучения интегральные индексы охватывают фондовый рынок всего мира, либо региональный рынок, либо рынок одного государства. Секторные интегральные индексы характеризуют состояние внутринационального рынка, движение ценных бумаг в границах, например, одной фондовой биржи. Субсекторные (групповые) интегральные индексы, являясь частью секторного индекса, позволяют изучить динамику курса ценных бумаг по отдельным группам компаний. Для характеристики состояния спроса в экономике данные индексы изучаются и отслеживаются ежедневно, каждую неделю, месяц, за каждый квартал, полугодие и год. Рассмотрим некоторые из широко известных индексов.

«Индекс — 65» Доу-Джонса представляет собой среднеарифметический индекс из значений курсов акций, котирующихся на Ныо-Иоркской фондовой бирже. Интегральный индекс дополняется тремя субсекторными, ежедневно публикуемыми на момент закрытия биржи. Интегральный (сводный) индекс рассчитывается на основе отобранных 65 компаний, а частные биржевые индексы определяются по акциям 30 промышленных (DJIA), 20 транспортных (Transport) и 15 коммунальных (Utilities) компаний. Известным индексом деловой активности в мире является Dow Jones Industrial Average, DJIA — средний индекс Доу-Джонса, рассчитываемый по акциям 30 промышленных предприятий, котирующимся на Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE). В состав этого индекса входят акции наиболее крупных американских компаний, таких, например, как IBM, General Electric и др. Этот индекс представляет собой среднеарифметическую взвешенную цен акций на момент закрытия биржи.

Сводным индексом, охватывающим все обыкновенные акции, котирующиеся на NYSE, является интегральный индекс биржи — NYSE Composite. Индекс Standard and Poor’s 500 (S&P 500) — интегральный, средневзвешенный показатель — рассчитывается по курсам акций 500 крупнейших компаний Нью-Йоркской фондовой биржи. Данный индекс формируется на основе 400 промышленных компаний, 40 финансовых, 20 транспортных и 40 коммунальных компаний, а в дополнение к нему рассчитываются субсекторные интегральные показатели, характеризующие динамику акций вышеназванных компаний. Таким индексами для 400 промышленных компаний является S&P Industrial, а для финансовых компаний — S&P Financials. Названные индексы, применяемые для характеристики состояния спроса на экономическом пространстве, отслеживают изменение цен акций на мировом рынке или его географическом секторе, по отдельным государствам или по отдельной фондовой бирже. Построение интегральных индексов основывается на основных методиках расчета: темп роста (снижения) акций исчисляется на основе простой средней арифметической или средней взвешенной, где весом является количество обращающихся акций; темп прироста (снижения) определяется либо по средней арифметической, либо по средней геометрической.

Фондовый рынок США не ограничивается только НыоЙоркской биржей. Существует еще одна общенациональная торговая биржа — Американская фондовая биржа (АМЕХ), на ней обращаются акции менее крупных компаний, чем на NYSE. Здесь рассчитывается интегральный индекс рыночной стоимости.

AMEX {AMEX Market Value), в состав которого включаются акции более 800 компаний. Широко используется система электронной торговли ценными бумагами NASDAQ, которая фактически превратилась в виртуальный центр так называемой новой экономики — сферы деятельности высокотехнологичных компаний, осуществляющих свой бизнес в Internet.

Биржевые индексы рассчитываются и на других фондовых биржах мира. На Лондонской и Токийской фондовых биржах ежедневно публикуется индекс обыкновенных акций 30 крупнейших компаний FT Ordinary Share Index, FT SO. Более совершенным индексом является индекс FT-SE 100. Интегральным индексом Токийской фондовой биржи является Nikkei, в Европе на Франкфуртской фондовой бирже рассчитывается индекс DAX. На Российском фондовом рынке рассчитывается биржевой индекс RTSI-Interfax, но методике расчета близкий к DJIA, и поэтому наблюдается взаимосвязь в изменениях двух этих индексов.