Непосредственное вычисление вероятностей

Для непосредственного вычисления вероятности используется ее классическое определение (11).

О Пример 1.10. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) 3 карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ»?

Решение, а) Пусть событие А — получение слова «ТОР». Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их еледования (или и тем и другим), т. е. общее число случаев п = /1₍, из которых благоприятствует событию А т = 1 случай. По формуле (1.1).

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

• б) Пусть событие В — получение слова «ТЕОРИЯ». Различные комбинации шести букв из имеющихся шести представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв; г. е. общее число случаев п = Р₆ = 6!, из которых благоприятствует событию В т = 1 случай. Поэтому
• ?

|> Пример 1.11. Используя условие примера 1.10, найти вероятность того, что получится слово «АНАНАС», если на отдельных карточках написаны три буквы А, две буквы И и одна буква С.

Решение. Пусть событие В — получение слова «АНАНАС». Так же, как и в примере 1.10 б, общее число случаев п = Р₆ = 6!, но теперь число случаев т, благоприятствующих событию В, существенно больше, так как перестановка трех букв А, осуществляемая Р₃= 3! способами, и перестановка двух букв Н (Р₂ = 2! способами) не меняет собранное из карточек слово «АНАНАС»; по правилу произведения (см. параграф 1.5) т = Р₃— Р₂. Итак,.

• (Задачу можно решить и иначе, рассматривая комбинации букв как перестановки с повторениями (см. параграф 1.5), из которых событию В благоприятствует 1 комбинация:
• ?

|> Пример 1.12. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента — разрядники?

Решение. 11усть событие А — 3 выбранных наудачу студен та — разрядники. Общее число случаев выбора 3 студентов из 30 равно п = С₃₀, так как комбинации из 30 студентов по 3 представляют собой сочетания, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, равно п = С^₀? Итак, О Пример 1.13. В лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут:

а) на 6-м этаже; б) на одном этаже?

Решение, а) Пусть событие А — все пассажиры выйдут на 6-м этаже. Каждый пассажир может выйти со 2-го по 9-й этаж 8 способами. По правилу произведения (параграф 1.5) общее число способов выхода четырех пассажиров из лифта равно д = 8- 8- 8- 8 = 8⁴. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно т = 1. Таким образом,.

б) Пусть событие В — все пассажиры выйдут на одном этаже. Теперь событию В будут благоприятствовать т = 8 случаев (все пассажиры выйдут или на 2-м этаже, или на 3-м,…, или на 9-м этаже). Поэтому.

(Общее число способов выхода пассажиров из лифта можно найти иначе, если учесть, что комбинации номеров этажей, на которых может выйти из лифта каждый из четырех пассажиров, например 3456, 4356, 4433, 5666, 5555, 9785 и т. д., представляют собой размещения с повторениями из 8 элементов (этажей) но 4. Их число по формуле (1.13) равно п — А$ - 8¹.) ?

|> Пример 1.14. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 3, 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает соответствующий денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы; а) все 6 цифр; б) 4 цифры.

Решение, а) Пусть событие А — угадывание всех 6 видов спорта из 45. Общее число всех случаев, т. е. всех вариантов заполнения карточек спортлото, есть п = С*!-, так как каждый вариант заполнения отличается только составом видов спорта. Число случаев, благоприятствующих событию А, есть т = 1. Поэтому.

б) Пусть событие В — угадывание 4 видов спорта из 6 выигравших из 45. Вначале найдем число способов, какими можно выбрать 4 вида спорта из 6 выигравших, т. е. С₆. Но это еще не все: к каждой комбинации 4 выигравших видов спорта из 6 следует присоединить комбинацию 2 невыигравших видов из 45 — 6 = 39; таких комбинаций С₃₉. По правилу произведения общее число случаев, благоприятствующих событию В, равно т = с- С₃₉ Итак,.

|> Пример 1.15. В партии 100 изделий, из которых 4 — бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?

Решение, а) Пусть событие А — все бракованные изделия достанутся одному потребителю. Общее число способов, какими можно выбрать 50 изделий из 100, равно п = С^о₀.Событию А благоприятствуют случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будет либо 46 стандартных из 96 (и все 4 бракованных) изделий, либо 50 стандартных из 96 (и 0 бракованных); их число Поэтому.

где 100! = 96! • 97 • 98 • 99 • 100, 50! — 46! • 47 • 48 • 49 • 50.

б) Пусть событие В — в каждой партии по 2 бракованных изделия. Теперь событию В будут благоприятствовать случаи, когда из 50 изделий, отправленных одному потребителю, будут 48 стандартных из 96 и 2 бракованных из 4, их число Поэтому.

[> Пример 1.15а. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники: а) одной марки; б) трех разных марок.

Решение, а) Пусть событие А — остались нераспроданными холодильники одной марки. Общее число способов, которыми можно получить 4 (непроданных) холодильника из 25, равно п = С₂₅. Число способов, которыми можно получить 4 холодильника первой марки из 5, равно m_i = С^А₅; второй марки из 7 — т₂ = С₇ и третьей марки из 13 — т_э = С₁₃. Событию А по правилу суммы (параграф 1.5) благоприятствует случаев. Поэтому.

б) Пусть событие В — остались нераспроданными холодильники трех разных марок. Событие В может произойти, но одному из трех вариантов.

По первому варианту событие В произойдет, если останутся нераспроданными 1, 1, 2 холодильников соответственно 1-й, 2-й и 3-й марок; по второму варианту — 1, 2, 1 и по третьему варианту останутся нераспроданными 2, 1, 1 холодильников соответственно 1-й, 2-й и 3-й марок. Так как до продажи имелось 5 холодильников 1-й марки, 7 — 2-й и 13 холодильников 3-й марки, то по правилу произведения (параграф 1.5) число случаев, благоприятствующих первому варианту, равно ; второму —.

; третьему варианту — . Общее число случаев, благоприятствующих событию В, равно т = т_л + т₂ + щ. Теперь.

О Пример 1.16. За круглым столом рассаживаются 5 мужчин и 5 женщин. Найти вероятность того, что: а) никакие два лица одного пола не сядут рядом; б) супруги сядут рядом, если эти мужчины и женщины образуют 5 супружеских пар.

Решение, а) Пусть событие А — никакие два лица одного пола не сядут рядом. Общее число способов рассадки 10 лиц на 10 местах определяется числом перестановок п = Р₁₀ = 10! Если женщины займут четные места 5! способами, то мужчины будут занимать нечетные места также 5! способами, и наоборот, т. е. число случаев, благоприятствующих событию А, равно гп = 2(5!)². Итак,.

• б) Пусть событие В — супруги, образующие пять супружеских пар, сядут рядом. Теперь число случаев т₂, благоприятствующих событию В, определяется числом 5! всевозможных перестановок 5 супружеских пар, причем в каждой паре возможна перестановка мужа и жены; по правилу произведения т₂ = 5!2⁵. Итак,
• ?

[> Пример 1.16а. В аудитории т = 25 студентов. Найти вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают. При каком числе т студентов вероятность того же события не меньше чем 0,95? (Полагаем равновозможность рождений в любой день года.).

Решение. Пусть событие А — дни рождения хотя бы двух студентов из т присутствующих в_аудитории совпадают. Найдем вероятность противоположного события А — дни рождения всех студентов различны.

Число случаев, благоприятствующих событию А, есть число размещений из п = 365 элементов (дней года) по т> т. е. А’Ц. Общее число случаев определяется также числом размещений из п элементов по т, но размещений с повторениями, т. е. Согласно классическому определению вероятности и для п = 365

При т = 25 искомая вероятность, рассчитанная по формуле (*), составит Р (А) = 0,569.

Вычисляя вероятности Р (А) для различных т, нетрудно убедиться в том, что неравенство Р (А) > 0,95 будет выполняться при т > 47, т. е. достаточно лишь 47 студентов в аудитории, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,95, утверждать, что по крайней мере у двух из них дни рождения совпадают. ?

О Пример 1.17. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано 7 билетов. Найти вероятности того, что пассажиры попали:

а) в два купе; б) в семь купе; в) в три купе.

Решение, а) Пусть событие А — пассажиры попали в два купе. Общее число способов выбора 7 любых мест из имеющихся в вагоне 36 определяется числом сочетаний п = C_3G.

Для нахождения числа т_х случаев, благоприятствующих событию А, учтем, что 2 купе из 9 можно выбрать С₉ способами, а 7 мест из имеющихся в двух купе 8 мест — С₈ способами. По правилу произведения т_л = С₃₆ • С₈. Итак,.

б) Пусть событие В — пассажиры попали в семь купе. 7 купе из 9 можно выбрать С₉ способами. Семь мест в семи купе можно получить, если в каждом купе выбрать по одному месту из четырех, что возможно 4' способами. Общее число случаев, благоприятствующих событию В, по правилу произведения равно т₂ = С₉ • 4! Итак,.

в) Пусть событие D — пассажиры попали в три купе. 3 купе из 9 можно выбрать СI способами, а число способов выбора семи мест из 12 в трех купе определяется сложнее, чем в п. а) и б). Действительно, возможные варианты выбора 7 мест из 12 в трех купе следующие: 4 + 2 + 1,3 + 3+1,3 + 2 +2, а за счет перестановок купе таких вариантов будет соответственно 6, 3 и 3. Каждый из этих вариантов по правилу произведения может быть получен способами соответственно. В результате общее число случаев, благоприятствующих событию Д равно Итак,