Геометрическое распределение и его обобщения

Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, …" т… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид

Нетрудно видеть, что вероятности р, образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем у (отсюда название «геометрическое распределение»).

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

(гак как есть сумма геометрического ряда

Случайная величина X — т, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число т испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Так, например, число вызовов радистом корреспондента до тех пор, пока вызов не будет принят, рассматриваемое в примере 3.19, б, есть случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром р = 0,4.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром р,

а ее дисперсия¹ где у = 1 — р.

О Пример 4.4. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его

* Доказательство теоремы, связанное с суммированием членов бесконечного ряда, здесь не приводим. Это доказательство аналогично приведенному для частного случая в решении примера 3.19, б.

математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Решение. Случайная величина X — число проверенных деталей до обнаружения бракованной — имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р = 0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид

По формулам (4.12) и (4.13).

?

Геометрическое распределение при к = 1 является частным случаем распределения Паскаля, для которого

и числовые характеристики .

Геометрическое распределение характеризует число т испытаний (проведенных по схеме Бернулли с вероятностью р наступления события в каждом испытании) до первого положительного исхода; распределение Паскаля — до к-го положительного исхода.

В отличие от закона Паскаля отрицательное биномиальное распределение характеризует распределение числа т непоявлений события до к-го положительного исхода. Его функция вероятностей

и числовые характеристики .

> Пример 4.4а. Решить задачу 4.4 при условии, что проверка партии проводится до обнаружения трех бракованных деталей.

Решение. Случайная величина X — число проверенных деталей до обнаружения ^ = 3 бракованных — имеет закон распределения Паскаля с параметром р = 0,1, т. е. Р (Х = т) = С²_т__х ? 0,1³ • 0,9'" «³, или

?