Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть /'(.г) — функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения f (x) =F'(x), или в иной форме.

Как уже известно, разность F (x + Ах) — F (x) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (х, х и- Ах). Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + Ах), к длине этого интервала (при Ах —> 0) равен значению плотности распределения в точкех.

По аналогии с определением плотности массы в точке^[1] целесообразно рассматривать значение функции /(х) в точке х как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция f (x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

или.

Так как Fx) = /(х) и dx = Ах, то.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + Ах), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ах) произведению плотности вероятности в точке х па длину интервала Ах.

F (x + Ах) — F (x) Ах

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + Дг), приближенно равна площади прямоугольника с основанием Дг и высотой/(а:).

На рис. 5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению/(х)Дг, лишь приближенно равна.

Рис. 5.

площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом

х+Аг

| f (x)dx). Допущенная при этом.

X

погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.

• [1] Если масса непрерывно распределена вдоль оси .г по некоторому закону, например F (x), то плотностью р (л) массы в точке х называют предел отношения массы ин тервала (х, х+Дз‘) к длине ин тервала при Ах —> 0, т. е. р (х) = lim Дл—>0