Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов — это произведение трёх векторов:

Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «-», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

определение:

• 1) Исходные векторы, обозначенные красными стрелками, не компланарны.
• 2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении, как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
• 3):смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ:

.

По определению смешанное произведение — это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра — треугольники.