Формула для вычисления дисперсии

Вычисление дисперсии, безразлично — выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему.

Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из преобразований:

Итак,

где x = ('?n_iX;)/n, х =(^Z, n_ix'^/n.

Пример. Найти дисперсию поданному распределению х. 1 2 3 4.

я' 20 15 10 5.

Решение. Найдем общую среднюю:

Найдем среднюю квадратов значений признака:

Искомая дисперсия

Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично — генеральной или выборочной, разбиты на.

k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

где п. — частота значения х.; j — номер группы; х? — групповая средняя группы/, N- — объем группы/.

Пример 1. Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:

Первая группа Вторая группа х п х п

i l' i i

• 4 7 8 3
• 3 2 _

^Ni = 'Lⁿi =i° ^N2 = =⁵

Решение. Найдем групповые средние:

Найдем искомые групповые дисперсии:

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

к.

где Nj — объем группы у"; п =? Nj — объем всей совокупности.

j=1.

Пример 2.11айти внутригрупповую дисперсию по данным примера 1. Решение. Искомая внутригрупповая дисперсия равна

§ 11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии 209.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

где Xj — групповая средняя группы j; Nj — объем группы j; х — к

общая средняя; п — ^ N- — объем всей совокупности. j=

Пример 3. Найти межгрупповую дисперсию по данным примера 1. Решение. Найдем общую среднюю:

Используя вычисленные выше величины х, =4, х₂ =6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:

где и. — частота значения х; х — общая средняя; п — объем всей совокупности.

Пример 4. Найти общую дисперсию по данным примера 1.

Решени е. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3:

Замечание. Найденная общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

В следующем параграфе будет доказано, что такая закономерность справедлива для любой совокупности.