Задачи. 
Теория вероятностей и математическая статистика

• 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны /?, и /2., извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и К, найдены исправленные выборочные дисперсии s_x и Sy. При уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Я₀: D (X)=D ( У) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Я: D (X) > D ( У), если:
  • а) тг, = 10, п₂ = 16, s²_x — 3,6, s² = 2,4, а = 0,05;
  • б) л, = 13, п._} = 18, s_x = 0,72_ts² = 0,20, а = 0,01.

Отв. a) F ,_п = 1,5; F _р(0,05; 9,15) = 2,59. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; б) F_a&i = 3,6; F _р(0,01; 12,17) = 3,45. Нулевая гипотеза отвергается.

• 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п и /л, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии D (X) и D ( У) известны. При уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Я₀: М (Х) = М (У) о равенстве математических ожиданий при конкурирующей гипотезе Я: М (Х) ф М (У), если:
  • а) п = 30, //г = 20, D (X) = 120, Я (У) = 100, а = 0,05;
  • б) /7 = 50, 7/7 = 40, D (X) = 50, D (Y)= 120, а = 0,01.

Оша. a) Z_{(ta6 i} = 1,2_кр = 1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; б) Z_ja6ti =10, г_кр = 2,58. Нулевая гипотеза отвергается.

3. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п = 5 и /72 = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены выборочные средние х = 15,9, у = 14,1 и исправленные выборочные дисперсии s_x =14,76, =4,92. При уровне значимости 0,05.

проверить нулевую гипотезу Я₀: М (Х) = М (У) о равенстве математических ожиданий при конкурирующей гипотезе Ну М (Х) Ф M (Y).

Указание. Предварительно сравнить дисперсии.

Отв. Г _а6л = 0,88, ?_кр (0,05; 9) = 2,26. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

4. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, а = 2,1 извлечена выборка объема п = 49 и по ней найдена выборочная средняя J = 4,5. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀ :а = 3 о равенстве математического ожидания гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Я: аФЗ.

Отв. Я_набл = 5, и_к? = 1,96. Нулевая гипотеза отвергается.

5. По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя х = 12,4 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5= 1,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я₍₎: а = 11,8 о равенстве математического ожидания гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н;.аФ 11,8.

Отв. Г_набл = 2, ?_kji(0,05; 15) = 2,13. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

6. Двумя приборами измерены пять деталей. Получены следующие результаты (мм):

При уровне значимости 0,05 проверить, значимо или незначимо различаются результаты измерений:

Отв. Г _аГп = 10,54, t (0,05; 4) = 2,78. Различие результатов измерений значимое.

7. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота т/п = 0,15. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я₀: р = 0,17 о равенстве относительной частоты гипотетической вероятности при конкурирующей гипотезе Я: р Ф 0,17.

Отв. | Я_набл | = 0,53, г/_к) = 1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

8. Из партии картона фабрики N° 1 случайно отобрано 150 листов, среди которых оказалось 12 нестандартных; из 100 листов картона фабрики № 2 обнаружено 15 нестандартных. Можно ли считать на пятипроцентном уровне значимости, что относительные частоты получения нестандартного картона обеими фабриками различаются значимо?

Указание. Принять в качестве конкурирующей гипотезы Н_хр_хФ р₂.

Отв. U _е = -1,75, и = 1,96. Различие относительных частот незначимое.

9. По пяти независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п_х = 7, п₂ = 9, п₃ = 10, п_А = 12, п. = 12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,27; 0,32; 0,40; 0,42; 0,48. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя).

Указан и е. Использовать критерий Бартлетта (см. § 20).

Отв. V=6,63, %кр (0,05; 4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

10. По четырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, извлеченным из нормальных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,12; 2,32; 3,24; 4,32. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий (критическая область — правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию.

Указание. Использовать критерий Кочрена (см. § 21).

Отв. а) С_набл = 0,36; С_к[)(0,05; 16; 4) = 0,4366. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; б) а = 3.

11. По выборке объема п = 62, извлеченной из двумерной нормальной совокупности (X, У), найден выборочный коэффициент корреляции г_в= 0,6.

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я₀: г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе г Ф 0.

Г.

Огпв. Г_и6л = 5,81, i (0,05; 60) = 2,0. Нулевая гипотеза отвергается.

• 12. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические (приведены в первой строке) и теоретические частоты (приведены во второй строке):
  • а) 6 12 16 40 13 8 5
• 4 11 15 43 15 6 6
• б) 5 6 14 32 43 39 30 20 6 5
• 4 7 12 29 48 35 34 18 7 6
• в) 5 13 12 44 8 12 6
• 2 20 12 35 15 10 6

Отв. Хнабл ⁼ 2,5, %кр (0,05; 4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу; б) Хнабл = 3, %кр (0,05; 7) = 1461. Нет оснований отвергнуть гипотезу; ^в) ЗСнабл ⁼ 13, %кр (0,05; 4) = 9,5. Гипотеза отвергается.

13. а) Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным рангам объектов выборки объема п =10:

б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значимости 0,05?

Отв. а) р_в = 1/3; б) Г_к> = 0,77; корреляционная ранговая связь незначима.

14. а) Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным рангам объектов выборки объема п = 10:

б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значимости 0,05?

Отв. а) т_в = 0,29; б) 7'_кр = 0,96; ранговая корреляционная связь незначима.

15. Известны результаты измерения (мм) изделий двух выборок, объемы которых соответственно равны п_{ = 6 и п.₂ = 6:

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу /-' (.г) = //(.г) об однородности выборок при конкурирующей гипотезе Я: F_t(x) ф //(.г). Указание. Использовать критерий Вилкоксона.

Отв. Нулевая гипотеза отвергается: w (0,025; 6; 6) = 26, w =.

~ 52 W -70 * iuijk". кр ' > > / > верхи, кр

' набл.

16. Используя критерий Вилкоксона, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок, объемы которых соответственно равны п_л = 30 и п., = 50, при конкурирующей гипотезе F_x(x) > F.,(x), если известно, что сумма порядковых номеров вариант первой выборки в общем вариационном ряду W_Ha6ji = 1150.

Owe. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу: