Создание тока в цепи с индуктивностью

Рассмотрим схему на рис. 9.24. Ключ замыкается. Как меняется ток в цепи? Уравнение (9.36) дает

Это точно такое же уравнение, как и уравнение (9.42). Его решение пишем сразу:

Начальное условие 1=0 при 1 = 0 дает.

Таким образом,.

Ток в цепи (в любой цепи, потому что любая цепь обладает индуктивностью) устанавливается не мгновенно. Характерное время т = L/R.

Задача 9.11. Найти характерное время т для селеноида длиной / = 0,2 м, сечением 5=5- 10"* м² с числом витков N= 1000. Сопротивление обмотки R = 10 Ом.

Решение. Индуктивность такого соленоида L «^м°^ ^S (формула (9.27)).

Имеем:

Если в этот соленоид вставить железный сердечник с р = 10³, это время возрастет до 0,3 с.

Рассмотрим колебательный контур (рис. 9.25). Уравнение (9.34) для этого случая дает.

Учитывая, что I = -dq/dt при изображенном на схеме токе и заряде, это уравнение приводится к виду.

Полагая R/2L = 8, 1 /LC = ш₀², общее решение этого уравнения в случае (0₀ > 8 можно написать в виде.

где со = - 8² (это математический факт). Здесь А, <�р — произвольные постоянные, подлежащие определению из начальных условий. Начальные условия должны задавать при t — 0 заряд на конденсаторе q и силу тока I = — dq/dt.

Пусть, например, имеем конденсатор с зарядом q₀, который при замыкании ключа разряжается через соленоид с сопротивлением R (рис. 9.26). Начальные условия в этом случае имеют вид: t = 0, q = q₀, 1=0. Имеем:

Далее:

откуда.

Уравнения (9.46), (9.47) определяют постоянные А и <�р:

Таким образом, в этом случае.

Если R = 0, в контуре будут происходить незатухающие колебания. В этом случае б = 0, ш = со₀, <�р = п/2 и решение (9.48) принимает вид.

При незатухающих колебаниях полная энергия электромагнитного поля сохраняется:

Здесь /_тах — амплитудное значение тока. Если R* 0, эта энергия постепенно переходит в тепло, что и обусловливает затухание колебаний. Теряемая мощность равна RI², так что за период теряется энергия.

Задача 9.12. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ, заряженный до напряжения U = 300 В, разряжается через катушку длиной / = 20 см, сечением 5=5 см², содержащую N = 1000 витков провода. Каков максимальный ток в катушке? Каков период колебаний? Сопротивление катушки 10 Ом.

Решение. Эта катушка уже фигурировала в п. 9.3.5. Ее индуктив;

.2 ?^2.

ность L = я • 10^_3 Гн. Из соотношения — = —- находим.

2С 2.

Имеем:

Если ш/8 «1, фаза ср близка к я/2. Положим ф = я/2 — е, е.

откуда tg е = 8/со и е = 8/со. Это дает д ля заряда на конденсаторе:

Для тока получаем.

Учитывая, что sinct + Pcosa = /4sin (a + у), где А = + р² и tg у ⁼ Р, для тока окончательно будем иметь:

Ясно, что максимум тока будет при Ш = я/2, т. е. при.

Так как при х <�К 1е^х = 1 + х, для /₀ получаем.

члены порядка (5/со₀)² опушены.

Видим, что /₀ < q₀со₀, как и надо было ожидать. В нашем случае 8 = R/2L = 1,6 • 10³, 8/ю₀ = 3 • 10~² и поправочный множитель (1 — л5/2о)₀) = 0,95.

На самом деле для нахождения максимального тока с такой точностью приведенный анализ чрезмерен. Ток можно было найти, как и в первоначальном подходе, из энергетических соображений.

Именно: в нулевом приближении ток меняется по закону 1(1) = ^₀o)₀sinco₀/, за четверть периода на сопротивлении R выделится энергия.

Закон сохранения энергии дает уравнение.

откуда получаем приведенный выше результат.