Функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций

Пусть задан функционал.

и граничные условия.

Требуется найти необходимые условия экстремума.

Если варьировать лишь одну функцию уДх), оставляя другие функции неизменными, тогда функционал l[y_l9у_п будет зависим только от одной варьируемой функции.

но условие экстремума такого функционала нам известно.

Функция, доставляющая экстремум функционалу, должна удовлетворять уравнению Эйлера.

Так как наше рассуждение справедливо по отношению к любой функции, то, применяя его ко всем функциям, получим систему уравнений Эйлера:

Решение этой системы дает п искомых функций, каждая из которых будет содержать две постоянные интегрирования, т. к. каждое уравнение второго порядка. Постоянные интегрирования находятся из 2/?-граничных условий.

Функционалы, зависящие от производных большего порядка, чем первый

Найдем условия экстремума функционала.

при граничных условиях:

Будем считать, что функция F имеет производные по всем своим аргументам. Пусть

Если подставить в F эту проварьированную функцию, то функционал превратиться в функцию параметра а, как и в случае простейшей задачи. Мы знаем, что

есть первая вариация функционала, а условием экстремума является равенство нулю 61. Таким образом, условие.

является условием экстремума.

Так как.

то

Проинтегрируем 2-е слагаемое по частям один раз: а третье слагаемое — два раза:

ит. д. и, учитывая, что при х = л'₀ и х = х_{ Ьу = 5/ = 8у* = … = 8у'^п' =0, получим для вариации функционала:

Так как 8у — функция произвольная, то вариация 61 будет равна нулю, если выражение в скобках равно нулю, т. е.

Это уравнение 2л-порядка называется уравнением Эйлера-Пуассона. В общем решении этого уравнения содержатся 2/7-постоянных интегрирования, которые можно определить из 2л-граничных условий.