Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей

Комплексные токи и напряжения. Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается уравнениями Кирхгофа, однако вычисления становятся более громоздкими, так как уравнения содержат тригонометрические функции. Для упрощения решения уравнений в электротехнике широко используется математический аппарат комплексных чисел. Комплексные величины позволяют получить описание модели цени с помощью системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.

Понять принцип расчета цепей синусоидального тока с помощью комплексных чисел можно на простейшем примере. На рис. 2.4.1, а показан узел электрической цепи, к которому подсоединены три ветви.

Рис. 2.4.1. Узел электрической схемы цепи с мгновенными (а) и комплексными (б) токами.

Сформулируем задачу следующим образом: известны токи ц = 1_и«ьт (со? + у,) и /₂ = 1_2тьт (со? + |/₂), нужно определить ток ?₀(?).

Решим задачу, используя первый закон Кирхгофа:

или

Из (2.4.1) очевидно, что искомый ток также будет синусоидальной функцией времени с угловой частотой, равной известной частоте со:

Решение поставленной задачи требует определения двух величин — амплитуды 1_0т и начальной фазы |/₍₎. Безусловно, что решение может быть найдено по правилам тригонометрии, однако для произвольных значений углов |/₁ и |/₂ такое решение довольно громоздко. Кроме того, в общем случае речь идет о решении уравнений, содержащих большее число членов, нежели уравнение (2.4.1). Применение комплексных чисел значительно упрощает решение поставленной задачи и, кроме того, позволяет наглядно иллюстрировать решение задачи графическим построением на комплексной плоскости.

Вспомним выражение синусоидальной функции через комплексные показательные функции:

где, а — аргумент синусоидальной функции;.  — мнимая единица; е —

основание натурального логарифма.

Буквой] далее обозначается мнимая единица в отличие от обозначения, принятого в математике^[1]. Объясняется это тем, что в электротехнике буква г использована для обозначения мгновенного тока.

Выразим все слагаемые уравнения (2.4.1) через комплексные показательные функции, сократим общий множитель 2} и после перестановки членов получим следующее:

Это уравнение справедливо для любого момента времени, и показатели степени в его левой и правой частях имеют разные знаки, что возможно только в случае, если обе части уравнения равны нулю. Отсюда следует.

Упростим уравнение (2.4.3а), разделив все его члены на общий множитель е*^ш, и перепишем в виде.

Проанализируем каждый член выражения (2.4.36). Первый член в правой части уравнения — комплексное число, модуль которого /_1от равен амплитуде тока, а аргумент |/₁ — начальной фазе этого тока; аналогично второе слагаемое — комплексное число, несущее информацию о переменном токе ?₂. Просуммировав два известных комплексных числа, стоящих в правой части уравнения, мы получили комплексное число, модуль которого равен амплитуде искомого тока /_0от, а аргумент — начальной фазе |/₍₎.

Введение

комплексных чисел позволило заменить громоздкие тригонометрические вычисления суммированием комплексных чисел.

Комплексные числа в уравнении (2.4.36) называют комплексными амплитудами тока и обозначают той же буквой, что и амплитуду синусоиды, но букву подчеркивают:

мри этом уравнение (2.4.36) можно записать в более компактном виде:

Полученное уравнение соответствует первому закону Кирхгофа для схемы рис. 2.4.1, а, записанному в комплексной форме. На схемах замещения можно также использовать комплексные изображения электрических величин (см. рис. 2.4.1, б).

Подобным образом вводятся также понятия комплексных амплитуд для напряжения и ЭДС, тогда

Очевидно, что между комплексными амплитудами и синусоидальными функциями времени существуют простые взаимно однозначные соответствия, как между изображением и оригиналом:

Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент — ее начальной фазе.

Комплексные действующие значения пропорциональны комплексным амплитудам и записываются в виде

Комплексному числу принято присваивать размерность той электрической величины, которую он изображает. Комплексные изображения несут информацию только о двух параметрах синусоиды — амплитуде и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра — угловой частоты со. Это объясняется тем, что аппарат комплексных изображений применим для анализа цепи, в которой действуют источники одной известной угловой частоты со. Если значение частоты не указано, то предполагается, что это промышленная частота /= 50 Гц, т. е. со «314 рад/с.

В формулах (2.4.56) комплексные амплитуды записаны в показательной форме. Для перехода к алгебраической форме можно воспользоваться формулой Эйлера e^ja = cosa + у sin a. Тогда комплексная амплитуда тока.

Упражнение 2.4.1*.

Запишите комплексные амплитуды электрических величин в соответствии с их тригонометрическими выражениями, приведенными в табл. 2.4.1.

Таблица 2.4.1

К упражнению 2.4.1.

Комплексные сопротивления. При анализе и расчете цепей синусоидального тока особенный интерес представляет связь по амплитуде и по начальной фазе тока и напряжения одного и того же пассивного участка электрической цепи. В самом удобном и компактном виде это осуществляется с помощью комплексных чисел.

Введем понятие комплексного сопротивления, которое определяется отношением комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока (закон Ома):

Комплексное число 2дает информацию как о соотношении амплитуд II_ш и 1_т, так и о сдвиге фаз между напряжением и током (р. Действительно,.

где Z — модуль; ср — аргумент комплексного сопротивления.

Модуль комплексного сопротивления I, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока:

Аргумент комплексного сопротивления равен разности начальных фаз напряжения и тока:

Комплексное сопротивление можно выразить также через комплексные действующие значения напряжения и тока:

В соответствии со стандартами буквенных обозначений электрических величин для комплексных величин, постоянных во времени величин, амплитуд, действующих значений используют прописные буквы. Строчные буквы применяют для мгновенных величин.

Отметим, что в первом издании учебника обозначение комплексного сопротивления отличалось от обозначений комплексных токов и напряжений. Комплексные токи и напряжения отмечались точкой над символом величины. Это различие объяснялось тем, что комплексная величина 7 не служит изображением синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью которого связываются комплексные изображения напряжения и тока. Теперь в соответствии со стандартами на буквенные обозначения электрических величин (для упрощения набора текста) это различие устранено, и все комплексные величины отмечаются подчеркиванием. Вместе с тем в математических вычислительных программах (МаНюаб, Ма^аЬ и др.) такое различие в именах действительных и комплексных величин отсутствует.

Соотношения

аналогичные по форме записи закону Ома для цепи постоянного тока, называют законом Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действующих значений.

Обозначение комплексного сопротивления на схемах замещения приведено на рис. 2.4.2. Здесь же на схеме изображены стрелки условно-положительных направлений комплексных напряжения и тока. Они используются при записи уравнений состояния цепи в комплексной форме. Перемена направления стрелки приведет к перемене знака комплексной величины в уравнении, т. е. от направления стрелки зависит аргумент комплексной величины (и начальная фаза мгновенных тока или напряжения).

Для удобства различения стрелка тока имеет острие с «просветом».

Рис. 2.4.2. Обозначения комплексных величин на схеме замещения.

• [1] В математических программах обычно можно вводить в выражения мнимую единицуравноценно буквами / или у.