Шифрсистема Эль-Гамаля. 
Системные и прикладные аспекты

Мультипликативная группа поля GF (pⁿ) есть циклическая группа порядка/;'⁷ — 1, п > 1. Криптографическая стойкость системы Эль-Гамаля основана на сложности задачи логарифмирования в мультипликативной группе Z* простого поля GF (p). Порядок Z* равен р — 1.

При построении системы выбирается большое простое число р и порождающий элемент, а е Z*. Секретным ключом системы является целое число q, где 1 < q < р — 2. Открытым ключом системы является набор чисел: р, а и (3, где Р = оЛ.

Уравнение шифрования есть ?(/>? а, р)(*) = (;У> У2)у ГД^е Уу У2 ^{е z}*p вычисляют при случайно выбранном числе г (рандомизаторе), 1 < г < р — 2, по формулам: у_х = a’mod/;, у₂ = ОФ') mod/;. Расшифрование выполняется по формуле х = Dq_{} q})(y, у₂) = (У2(У)~^д) niodp. Корректность расшифрования легко проверяется:

Использование рандомизатора означает, что здесь реализован шифр многозначной замены, выравнивающий частоты символов шифрованного текста. При этом для расшифрования не требуется знания рандомизатора, необходимо знать закрытый ключ.

Для зашифрования различных блоков (чисел) открытого текста необходимо использовать различные значения рандомизатора. В противном случае соответствующие шифрованные тексты (у_х, у₂) и (у{, у₂), полученные для открытых текстов х и х', связаны соотношением у₂(у₂)~^х = х (х')~¹, и тогда текст х' можно вычислить, если известен текст х.

Определение криптоаналитиком секретного ключа q равносильно вычислению дискретного логарифма ^_а|3. Применение системы ЭльГамаля может быть распространено на любую конечную циклическую группу С.