Теорема Гаусса в интегральной форме

Теорема Гаусса является одной из важнейших теорем электростатики Она соответствует закону Кулона и принципу наложения. Теорему можно сформулировать и записать тремя способами.

1. Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

Из формулы (19.16) следует, что вектор D является такой характеристикой поля, которая при прочих равных условиях не зависит от диэлектрических свойств среды (от величины е_г).

2. Так как D = е₀ г_г Ё_у то теорему Гаусса для однородной и изотропной среды можно записать и в такой форме:

т. е. поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, разделенной на произведение е₀ е_г.

Из формулы (19.17) следует, что вектор Ё представляет собой характеристику поля, которая в отличие от вектора D при прочих равных условиях зависит от диэлектрических свойств среды (от величины е_г).

Поток вектора D определяется лишь суммой зарядов и не зависит от их расположения внутри замкнутой поверхности^в).

3. Поток вектора Ё через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов (Zq_cвоб)> ^{но и} суммой связанных зарядов (Z<7_cbjd), находящихся внутри поверхности Из курса физики известно, что поток вектора поляризации сквозь любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

Напомним вывод этой формулы. С этой целью покажем, что плотность поверхностных связанных зарядов на поверхности раздела поляризованного диэлектрика и вакуума равна модулю вектора поляризации.

Теорема Гаусса (формула (19.16) или (19.17)) применима не только к электростатическому полю, но и к переменному электромагнитному полю при условии, что расстояние от заряда, создающею поле, до точки, в которой определяют напряженность, должно быть много меньше длины электромагнитной волны (подробнее см. § 26.6). Распространил теорему Гаусса на переменное электромагнитное поле (постулировал возможность ее применения) Дж. К. Максвелл. Поэтому теорему Гаусса в применении к переменному электромагнитному полю в литературе называют постулатом Максвелла.

На рис. 19.6, С показано расположение диполей в поляризованном диэлектрике длиной L, сечением S. На торцах диэлектрика образуются связанные заряды. Поверхностную плотность их обозначим через о. На длине L' положительные и озрицательные заряды взаимно компенсируют друг друга. Поэтому поляризованный диэлектрик (см. рис. 19.6, 6) можно рассматривать как диполь длиной L с сосредоточенными на концах зарядами a S.

Электрический момент всего диэлектрика длиной L равен oSL Электрический момент единицы длины диэлекгрика: Р = о S LIV = a S L'{S L) = а. Таким образом, плотность связанных зарядов на горцах поляризованного диэлектрика равна модулю вектора Р (вектор перпендикулярен торцам). На рис. 19.6, в изображен свободный положительный заряд, вызвавший поляризацию окружающею его диэлектрика.

Окружим заряд сферой и подсчитаем нескомпенсированные связанные заряды, попавшие внутрь сферы. Нескомпенсированными связанными зарядами оказываются заряды диполей, пересекаемых поверхностью S. Их поверхностная плотность равна а. поэтому.

Знак минус появился вследствие того, что знак «скомпенсированных связанных зарядов противоположен знаку свободного заряда (см. рис. 19.6, в).

Формулу (19.16) можно переписать следующим образом:

Следовательно,.

или.

Формулы (19.17) и (19.17а) различаются своими правыми частями.