Электрическое поле описывается уравнениями Лапласа или Пуассона. Оба они являются уравнениями в частных производных. Уравнения в частных производных в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений имеют в общем случае множество линейно независимых друг от друга решений. В любой же конкретной практической задаче есть единственная картина поля. т. е. единственное решение. Из множества линейно независимых решений, допускаемых уравнением Лапласа—Пуассона, выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий.
Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа—Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта функция и представляет собой то единственное решение конкретной задачи, которое ищут.
Это положение называют теоремой единственности решения. Докажем ее. Допустим, что есть два решения (<�р' и ср', Ё' и Ё'). На поверхности каждого Аг-го проводящего тела с зарядом qk потенциал. ср* =cp*. Во всех точках разностное поле (ср = <�р' - <�р* и Ё = Ё'-Ё') отсутствует, так как его энергия е, Е7 dV = у ?)ер* qk = 0 (§ 19.43; на поверхно;
р 4 I
сти проводника ср* = ср* -ср* =0).
