Плоская система сил

Алгебраический момент силы.

Алгебраическим моментом силы F относительно центра О называется взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы на ее плечо Когда все силы лежат в одной плоскости, то векторы моментов параллельны и различаются только знаками. В этом случае нет необходимости прибегать к векторной символике, а момент силы относительно любого центра О можно рассматривать как алгебраическую величину m_a(F).

В правой системе координат, принятой в механике, момент считается положительным, когда стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки.

Задача. Найти моменты сил F и Q относительно точки D. CD = a, AD = b (рис. 1.34).

Рис. 1.34.

Решение. Опустим из точки D перпендикуляр на линию действия силы F.

h = a sina, m_D(F) = Fh = Fa sina. Можно найти плечо силы Q относительно точки D, но проще разложить силу Q по двум направлениям и воспользоваться теоремой Вариньона

Алгебраический момент пар Если все пары сил лежат в одной плоскости, то момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину.

Алгебраический момент пары равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (рис. 1.35, а), взятому с соответствующим знаком.

Пары можно суммировать, при этом сумма будет алгебраическая.

На схемах пару можно изображать в виде стрелок, указывающих направр_ис | 35 ление поворота (рис. 1.35, б).

Задача. Рычаг находится в равновесии под действием двух параллельных сил Р и Р' (рис. 1.36). Определить силы давления на опоры.

Рис. 1.36.

Решение. Заменим пару Р, Р' эквивалентной парой, силы которой направлены по направлению опор. Эквивалентная пара оказывает то же механическое воздействие, что и рассматриваемая заданная. Пле-

с — и

ни и силы у нихразличны, но моментыравны: P (c-a) = Qb; Q = Q' = P—r—.

Равновесие плоской системы сил Для любой системы сил необходимыми и достаточными условиями равновесия являются R = 0, М₀ =0. Найдем отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.

1. Основная форма условий равновесия. Поскольку вектор R = 0, когда равны нулю его проекции, то условия равновесия:

где /и₀ — алгебраический момент; О — любая точка в плоскости.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Одновременно равенства (1.10) выражают условия равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.

2. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех моментов сил относительно двух любых центров/) и В и сумма их проекций на ось О_х, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю.

Рис. 1.37.

Если выполняются только два первых условия, то система может иметь равнодействующую, проходящую через точки А и В (рис. 1.37). Тело не будет находиться в равновесии, хотя 1т_А, 1т_в будут равны нулю.

3. Уравнение трех моментов. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов сил системы относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, была равна нулю.

Если бы система не находилась в равновесии, то она сводилась бы к равнодействующей, но тогда, чтобы не дать моментов, равнодействующая R должна одновременно пройти через три точки, не лежащие на одной прямой, что невозможно.

Отметим следующее. Если на тело действуют плоская система сил и пары, лежащие в той же плоскости, то при составлении условий равновесия силы пар не войдут в уравнения проекций на оси. В уравнения моментов войдут и моменты от сил относительно центра, и моменты пар.

Следовательно, уравнения (1.10) запишутся в виде:

Равновесие плоской системы параллельных сил.

Рис. 1.38.

Если все силы параллельны, то ось О_х можно направить перпендикулярно силам (рис. 1.38) и равенство ^ F_kx =0 превратится в тождество.

Остается два уравнения равновесия: