Операторный метод описания динамических процессов

Динамическими называются процессы, характеризующие изменение параметров во времени. Примером такого процесса является изменение тока (напряжения) в импульсе.

В операторном методе используется комплексное описание изменений напряжений и токов с использованием оператора Лапласа

где, а — действительная (реальная) часть; уб) — мнимая часть;

у = ^Т.

Функции изменения напряжения u (t) (оригиналу) соответствует преобразование Лапласа (изображение).

Рис. 3.5. Распределение Рис. 3.6. Связь генератора.

напряжений и ЭДС в цепи и нагрузки Преобразование Лапласа U (p) функции u (t) имеет реальную и мнимую части. Реальная часть описывает ступенчатые изменения напряжений и токов и переходные процессы, а мнимая — колебательные (частотные) составляющие процессов.

Если в операторе Лапласа исключить реальную часть о, то преобразование Лапласа превратится в преобразование Фурье (см. гл. I), т.с. преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа.

Для ограниченного импульса (от 0 до т) имеем.

Зная изображение U (p), можно получить оригинал: где с — постоянная.

Преобразование Лапласа можно представить в дробном виде: где а (р) и Ь (р) — многочлены, т. е.

Такое представление позволяет выразить исходную функцию в виде следующей суммы:

где р_к — корни многочлена Ь (р).

Выражение (3.8) называется формулой Хевисайда, причем.

где а (р_к), Ь (р_к) — значения многочленов, вычисленные для корня р_к.

Операторный метод удобен для описания динамических процессов в электрических цепях. Рассмотрим процесс разряда кон;

Рис. 3.7. /?С-контур:

а — электрическая схема; б — график заряда конденсатора денсатора через сопротивление (рис. 3.7, а). Схема работает следующим способом. Когда ключ находится в положении 1 конденсатор заряжается и напряжение на его обкладках изменяется по следующему закону:

где 0 — постоянная времени разряда, равная RC.

При достаточно большом времени / напряжение и_с(г) становится равным напряжению на батарее Е (рис. 3.7, б). Если ключ переключается в положение 2, то конденсатор начинает разряжаться через сопротивление R. По мере разряда конденсатора напряжение на его обкладках уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 3.8):

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Ток в цепи при разряде конденсатора (ключ в положении 2) можно определить по закону Ома, учитывая, что i_R(t) = i_c(t):

При включении ключа в положение 1, в соответствии с законом Киркгофа для контура, получим следующее уравнение, определяющее напряжение на сопротивлении R:

Подставляя значение udt) из формулы (3.9), получим.

Ток в цепи при заряде конденсатора (ключ в положении 1) определяется током через сопротивление и по закону Ома.

Согласно первому закону коммутации и второй формуле (3.1) имеем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 3.8. График разряда конденсатора.

Согласно формуле (3.11) /_с(/) = i_R(t) и i_c(t) = u_R(t)/R, поэтому уравнение (3.12) запишем в следующей форме:

Дифференцируя правую и левую части уравнения (3.15), получим эквивалентное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

Решением этого уравнения является функция напряжения.

где р — корень характеристического уравнения.

Анализируя уравнение (3.17) и сопоставляя его с уравнением (3.10), можно определить, что р — это оператор Лапласа, причем р — -1/0 = -l/(RC).

Если вместо конденсатора поставить катушку индуктивности, то изменение тока в цепи при переключении ключа также может быть представлено дифференциальным уравнением первого порядка. Изменение тока в цепи и напряжения на катушке будет также соответствовать уравнению (3.17), в котором оператор Лапласа р = -1/0 = -L/R.

Если последовательно с конденсатором подключить катушку индуктивности (рис. 3.9), то изменение тока в цепи при переключении ключа может быть представлено дифференциальным уравнением второго порядка. В этом случае корни характеристического уравнения имеют не только действительные (вещественные), но и комплексные значения. Наличие комплексной составляющей указывает на колебательный характер переходных процессов.

Изменение напряжения на обкладках конденсатора при переключении ключа зависит от соотношения параметров /?, L и С.

Рис. 3.9. /г?С-цепь:

а — электрическая схема; б — виды переходных процессов при ключе в положении 1; в — виды переходных процессов при ключе в положении 2.