Эффект дохода и эффект замены по Хиксу

Вернемся вновь к исходному равновесию. Пусть индивид первоначально выбирает набор (X_t, У_;) в точке (рис. 8.13). В данном случае уровень благосостояния для потребителя характеризуется кривой безразличия U_v Его исходное бюджетное ограничение представлено линией БО_г В результате роста цены единицы товарах бюджетная линия поворачивается вдоль осиХ до уровня В0₂. Потребитель вынужден сокращать свои покупки до нового набора (X, У₂) в точке Е_г Уровень его благосостояния снизился до кривой безразличия U_r

Потребителю вновь предлагается компенсация. Однако теперь дополнительный доход должен быть таким, чтобы уровень благосостояния индивида не изменился, несмотря на рост цены товара X. Как же найти этот новый доход?

Для этого мы должны обратить внимание на двойственную задачу потребительского выбора. Здесь нам потребуется ограничение в виде первоначального уровня благосостояния — уровня полезности U_v Но компенсация не должна быть чрезмерной. Новый доход потребителя должен соответствовать минимуму расходов, которые позволят индивиду при новой цене одного из товаров (в нашем случае товарах) приобрести набор, приносящий потребителю такую же полезность, какая была у него первоначально.

Решаем следующую задачу: min Е (Р_Х, P_Y, U) при U = U_y Новый оптимум потребителя достигается в точке Е_у Индивид выбирает набор (Х₃, У₃). Этот набор, как можно заметить, отличается количественно от первоначального оптимума, но приносит потребителю такую же полезность. Разница в бюджетах Б0₂ и Б0₃ составляет компенсацию по Хиксу. Следует отметить, что в силу выпук-лости кривой безразличия к началу координат оптимальный набор (Х₃, 7₃) будет расположен всегда левее точки первоначального выбора Е_у

Исследуем подробнее реакцию потребителя на рост цены товара в версии Хикса.

Рис. 8.13. Эффект дохода и эффект замены по Хиксу.

Эффект цены — разница в объемах покупок товаров X и Y (прямой и перекрестный эффекты) между первоначальным оптимумом и итоговым выбором Е₂ одинакова при одинаковых изменениях цен для одного и того же потребителя и по Хиксу, и по Слуцкому. Эффект замены по Хиксу определяется переходом индивида от точки ?_J к точке Е₃. Это движение вдоль исходной кривой безразличия под действием изменения относительных цен товаров и дохода — компенсации потребителя. Эффект дохода по Хиксу означает перемещение индивида из точки ?₃ в итоговую точку Е₂ — изменение покупок товаров под действием изменения реального дохода потребителя.

ШПАРГАЛКА.

Как найти эффекты по Хиксу

?: тах1ДХ, У) при БО, (/, Р_х, PJ.

Е₂: maxU (X, У) при БО_? (/, Р_х, Р_у).

Е₃: min?(P_x, P_v) при l/*=U₁(X_], У,). h ⁼Рх, 'Х + Ру У.

Компенсация по Хиксу: 1₂ — /_|; где /₂ = P_v? Х₃ + Р_у ? У_:!.

Прямой эффект цены: ДХ^Р =Х₂-Х_Г Прямой эффект дохода: АХ¹ =Х₂-Х₃.

Прямой эффект замены: AX^S =Х₃-Х_Г

Перекрестный эффект цены: ДУ'' = У₂ — У,.

Перекрестный эффект дохода: Ay^s =Y₃-Y_r Перекрестный эффект замены: ДУ⁵ = У, — У,.

Вопрос для размышления Для каких видов предпочтений эффект замены всегда равен нулю? Эффект дохода всегда равен нулю? Почему так происходит?

Теоретический вопрос повышенной сложности

Докажите, используя лемму Шепарда, что при небольших изменениях цен разницей между компенсацией по Хиксу и компенсацией по Слуцкому можно пренебречь, т. е. при небольших изменениях цены товара компенсация по Хиксу равна компенсации по Слуцкому.

Решение

Доказательство строится на основе леммы Шепарда.

Рассмотрим полный дифференциал функции полезности:

Вынесем MU_Y в правой части выражения за скобку, в итоге получим.

В точке оптимума потребителя имеет место равенство.

Подставим это равенство в выражение полного дифференциала функции полезности.

Вынесем P_Y в правой части за скобку и получим.

В точке оптимума потребителя действует эквимаржинальный принцип

Изменение цены товара X ведет к относительному изменению дохода потребителя (эффекту дохода), который можно выразить через полный дифференциал функции бюджетного ограничения потребителя (функции дохода потребителя):

Откуда получаем.

Подставим это выражение в полный дифференциал функции полезности, тогда.

На основе этого выражения мы видим, что изменение совокупной полезности в результате изменения цены зависит от двух факторов — изменения дохода (d/) и изменения стоимости первоначального набора (X • dP_x).

Компенсация по Хиксу исходит из того, что уровень полезности не должен измениться, т. е. dU = 0.

При этом, так как X > 0,.

или.

т.е. изменение дохода должно в точности компенсировать изменение цены, а это есть компенсация по Слуцкому.

Таким образом, при небольших изменениях цены товара компенсация по Хиксу равняется компенсации по Слуцкому.

Итак, эффект цены может быть разложен на два самостоятельных эффекта — эффект дохода и эффект замены. Эти эффекты могут быть как прямыми, затрагивающими реакцию потребителя на изменение цены данного товара, так и косвенными (перекрестными), показывающими реакцию индивида по отношению к прочим товарам в наборе. Поскольку эффект замены характеризует чистую реакцию потребителя на динамику цены одного из товаров, т. е. реакцию независимо от воздействия цены на покупательную способность его денег, знак перекрестного эффекта замены классифицирует товары X и Y на чистые субституты (знак положительный), чистые комплементы (знак отрицательный) и чистые нейтральные товары (эффект равен нулю). Тогда общий эффект цены в отношении двух товаров будет их подразделять на общие субституты (знак перекрестного эффекта цены положителен), общие комплементы (знак отрицателен) и общие нейтральные товары (эффект равен нулю).

Задача, иллюстрирующая теорию

Функция полезности потребителя задана как:

• а) U = Х¹¹² -Y^½;
• б) U = Х'² +Y.

Цена единицы товарах равна 2 руб., цена единицы товара Y составляет 4 руб. Потребитель выделяет на покупку двух товаров 100 руб.

• 1. Какое количество товара купит потребитель?
• 2. Каким образом изменится оптимальный набор потребителя, если цена товара X возрастет в два раза (до 4 руб.)?
• 3. Чему при этом будут равны прямые эффекты дохода и эффект замены (по Хиксу и по Слуцкому)?
• 4. Чему при этом будут равны перекрестные эффекты дохода и за-мены?
• 5. Являются ли товары X и Y общими субститутами или комплементами?
• 6. Являются ли товары X и У чистыми субститутами или комплементами?

Решение

1. Найдем точку оптимального потребления:

Значение функции полезности в этой точке равно.

Значение функции полезности в этой точке равно.

2. Найдем новые значения оптимальных объемов потребления после изменения цен в отсутствие компенсации дохода.

Значение функции полезности в этой точке равно.

Значение функции полезности в этой точке равно.

3. Найдем прямые эффекты замены и дохода компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу. Для удобства анализа представим полученные результаты в таблицах, а) Для функции полезности вида: U = X'²У¹²

б) Для функции полезности вида: U = X^V2 + У.

• 4. Найдем перекрестные эффекты замены и дохода компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу.
• а) Для функции полезности вида: U = X^V2Y^V2

б) Для функции полезности вида: U = X¹² + Y

5. Определим знак перекрестной эластичности товаров по цене: а) для функции полезности вида: U = Х^,/2 У¹'²

Из соображений симметрии функции полезности можно сделать вывод, что.

Следовательно, товары X и У являются независимыми (не общими комплементами и не общими субститутами, а общими нейтральными товарами);

б) для функции полезности вида: U = X¹'² + У.

Следовательно, товары являются общими субститутами. Причем товар X—это товар первой необходимости, так как его потребление после определенного уровня дохода перестает зависеть от дохода.

6. Для функции полезности вида: U = X¹² • У¹² эффект замены положителен, поэтому товары X и У являются чистыми субститутами, для функции полезности вида: U = Х¹² +У эффект замены тоже положителен, хотя гораздо меньше и практически приближается к нулю. В этом случае мы можем охарактеризовать товары X и У либо как незначительные чистые субституты, либо, скорее всего, как чистые нейтральные товары.