Функция. 
Система философии

Ближайший повод мыслить себе два числа в зависимости друг от друга представляется обыкновенно тогда, когда одно число образуется из другого. Логический процесс этого образования есть арифметическое действие, и связь, существующая между первоначальным числом и числом из него образовавшимся, называется поэтому связью в действии. Все арифметические действия основываются на двух примитивных деятельностях счета и обратной ему операции: на прибавлении и отнятии единиц. Обратимы поэтому и сложные действия, возникающие из первоначального сложения единиц, так что всякое число, образовавшееся из другого числа при посредстве одного из четырех основных арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а равно и при посредстве повторений умножения или деления — возведения в степень или извлечения корня — может быть всегда в него же переведено при посредстве обратного действия. Таким образом, всякая связь в действии заключает в себе всегда взаимную зависимость двух чисел. Этот характер логической взаимной определяемое™ сохраняют почти все приложения, понятия логической зависимости в области математики. Здесь всякая зависимость основывается на связи в действии, и притом нет такого действия, которое нельзя было бы мыслить себе обратимым, а потому вообще всегда можно мыслить себе, что основание и следствие обмениваются местами, хотя бы данная связь понятий и делала один из этих способов рассмотрения более предпочтительным, чем другой.

Из связи в действии вытекает понятие функции, коль скоро оба числа, приводимые при посредстве какого-либо действия в соотношение друг с другом, мыслятся уже не как постоянные, а как переменные величины. Тогда то число, из которого благодаря производимому над ним действию образуется другое число, называется независимым переменным, число же, образующееся при посредстве производимого действия, — зависимым переменным. Из принципа взаимной определяемое™ вытекает, далее, что само по себе зависимое переменное может быть всегда мыслимо как независимое и обратно, как бы нецелесообразно и даже неосуществимо ни было это в отдельных случаях. Как уже простые арифметические действия представляют градацию, при которой следующая ступень всегда вытекает из предыдущей, благодаря тому, что соответственное действие мыслится выполняемым несколько раз подряд, так и при функциональной связи двух чисел вообще нет необходимости в том, чтобы связь состояла в одном только действии; но можно только предполагать, что для получения из независимого переменного зависимого переменного требуется любое повторение действия или даже ряд различных действий. Итак, общим условием приложимости понятия функции остается лишь наличность двух рядов чисел, из которых первый может быть получен из второго посредством определенного действия или ряда следующих друг за другом действий таким образом, чтобы некоторому числу в одном ряду соответствовало некоторое число в другом.

Итак, функция проистекает из связи в действии посредством присоединения понятия изменяемости связуемых величин. Коль скоро числа, приводимые таким образом в связь, мыслятся как переменные, тогда и взаимная их зависимость непосредственно представляется зависимостью между двумя изменениями. Одно число есть функция другого, так как вследствие изменений последнего оно также изменяется по определенному, для данной функции неизменному закону. И этот закон изменения опять-таки дан в связи в действии, благодаря которой каждому численному значению независимых переменных соответствует численное значение зависимых переменных. В этом заключается в то же время непреодолимый мотив, в силу которого при определении понятия функции понятие числа тотчас выступает в своем наиболее общем значении. Ведь для того чтобы понятие изменения мыслилось в своей наибольшей общности, изменение необходимо должно признаваться имеющим такой характер, что в тех пределах, между которыми оно совершается, оно может допускать все возможные значения. Наиболее общее изменение есть непрерывное изменение, так как в принимаемые при нем значения входят и все величины, получающиеся благодаря изменению не непрерывному или совершающемуся скачками. Таким образом, непосредственная приложимость понятия функции к непрерывным величинам вытекает не только из специальных условий, требуемых применением к определенным геометрическим и механическим проблемам, но более общее условие ее заключается в связанном с понятием функции признаке соотносительного изменения.

Затем лишь благодаря произвольно введенному ограничению из понятия аналитической функции, в котором соотносительное изменение предполагается в этой своей наиболее общей форме, образовалось то понятие функции, которое устанавливает теория чисел, где стоящие в функциональном отношении величины имеют значение только целых чисел. Таким образом, с развитием понятия о функции получило завершение то обобщение понятия числа, которое началось с образования иррациональных чисел, так как рассмотрение чисел, приводимых в связь в действии, с точки зрения функции в силу внутренней необходимости повело к такому пониманию понятия числа, при котором непрерывная форма величины, позднее всех других признанная за число, теперь уже должна была представиться наиболее общей формой числа. В самом деле, насколько невозможно образовать непрерывное многообразие из раздельных элементов, настолько же легко выделить из непрерывного многообразия дискретные части, чтобы соединить их в некоторое целое независимо от находящейся между ними непрерывной среды.

Форма функции, как это явствует из вышерассмотренных условий ее возникновения, непосредственно определяется законом, связующим зависимые переменные с независимыми переменными величинами. А сам этот закон в свою очередь определяется связью в действии, существующей между упомянутыми величинами. Итак, из этих условий необходимо следует, что основные формы функции вытекают из арифметических основных действий. Если действия состоят в простых или повторяемых сложениях, вычитаниях и умножениях, стало быть, в операциях, выполнение которых приводит всегда к образованию из данных целых чисел опять-таки целых чисел, то образуется форма целой функции. Если же, напротив того, в закон связи входят деления, по выполнении которых получаются дробные числа, то возникает форма дробной функции. Далее, если связь такова, что в арифметической форме она может быть воспроизведена лишь при посредстве бесконечного числа действий, то это приводит к трансцендентной функции. Таким образом, три рода функций вполне соответствуют трем родам чисел: числам целым, дробным и иррациональным. В самом деле в первых, на высшей ступени, а именно в связи чисел, предполагаемых переменными, повторяется то же самое отношение, которое существует в родах чисел между определенным числом и его единицами. Наконец, если функциональное отношение сложно, так что зависимая величина одновременно определяется несколькими независимыми переменными, частные значения которых могут быть рассматриваемы как составные части комплексного выражения, тогда возникает функция комплексных переменных. Стало быть, отличие этой формы функции от предшествующей соответствует качественной особенности комплексной системы чисел сравнительно с простыми системами положительных и отрицательных чисел. Так как при комплексной функции определенному значению независимых переменных могут удовлетворять разные, до бесконечности различные комбинации независимых переменных, образующих комплексное выражение, то и в этой форме функции совершается важное расширение общего понятия функции в том отношении, что здесь взаимная зависимость переменных величин становится в то же время допускающей много значений. Этот результат в высшей степени важен и в логическом отношении. Он непосредственно доказывает, что, хотя допускающая одно значение связь основания и следствия и наблюдается, как правило, при простых функциях, а посредством введения ограничительных условий достижима нередко также и в комплексных функциях, она, будучи рассматриваема сама по себе, все-таки представляет специальный случай, обусловливаемый лишь относительной простотой обыкновенных математических связей в действиях. При этом оказывает влияние в особенности еще то обстоятельство, что применение понятия функции к проблемам естествознания сплошь ограничивается рассмотрением таких допускающих одно значение отношений. Принципиально же это ограничение вовсе не необходимо, так как, хотя связь по принципу основания и следствия и требует всегда, чтобы одному определенному основанию соответствовало и одно определенное следствие, данное следствие может, напротив того, вытекать из различных оснований. При переходе общей логической зависимости в математическую функцию этот случай приурочения нескольких мыслимых оснований к одному и тому же следствию вообще наступает тогда, когда независимые переменные величины сами в свою очередь могут изменяться независимо друг от друга, потому что тогда каждый из аргументов х и у комплексной функции z — / (х + у) может принимать весьма различные значения, между тем функция z сохраняет всетаки прежнее значение. Стало быть, и для этого случая допускающих много значений функций перестает быть применимым имеющий силу в иных случаях принцип, гласящий, что всякая функция есть логическое взаимноопределение: функция, допускающая много значений, есть односторонняя логическая зависимость, при которой основание и следствие не могут замениться друг другом.

Форма функций, допускающих много значений, приводит, наконец, к такой форме понятия функции, при которой совсем оставляется предположение о возникновении определенного отношения рядов чисел из связей в действиях, и удерживается только общая мысль о зависимости. Если данный ряд чисел, которые рассматриваются как зависимые переменные, входящие в функцию какой-либо формы, может вытекать из связей действий какого-либо рода с бесконечно различными независимыми переменными, то любой ряд чисел всегда может быть рассматриваем как принадлежащий к этим возможным переменным, если только всякому числу в первом ряду отвечает определенное число во втором. Таким образом возникает форма произвольной функции. По своему происхождению это — последняя форма функции, возникшая из предположений, на которые наводят наиболее сложные связи в действиях, но поэтому именно эта форма и оказывается наиболее общей по своему понятию, так как при ней вообще не принимается уже в расчет предположение связи в действии, а удерживается лишь понятие зависимости некоторого ряда чисел от некоторого ряда других чисел. Но вместе с тем это понятие представляется единственно существенным признаком функции. Ближайшее исследование произвольных функций допускалось, конечно, лишь таким образом, что отброшенный признак связи в действии затем снова присоединяется, так что при посредстве соединения обыкновенных трансцендентных функций имеется в виду образовать сложную форму функции, фактически соответствующую допускающей одно значение связи в действии двух данных рядов чисел. Окончательное отличие их от обычных понятий о функции состоит, стало быть, в том, что, между тем как при последних связь приуроченных друг к другу рядов возникла лишь из арифметических действий, при произвольных функциях, — напротив того, должны быть выполнены известные действия для приведения данных рядов чисел в арифметическую связь. Поэтому естественную область применения произвольных функций образуют те более сложные правильные связи численно определимых фактов в опыте, которые не выводимы по простым законам.

Все формы понятия функции, которые мы здесь рассмотрели, за исключением возникшей при специальных условиях формы устанавливаемой теорией чисел, связаны при посредстве понятия соотносительного непрерывного изменения с тем общим понятием числа, которое совпадает с понятием непрерывно изменяющейся величины. Отсюда вытекает в конце концов развитие особого рода понятий производных функций, которые могут быть получаемы из первоначальных благодаря применению понятия непрерывного изменения. А именно, если некоторая определенная величина должна быть рассматриваема как функция другой, в силу того, что между ними существует связь в действии, тогда вследствие того, что всякое непрерывное изменение независимых переменных вызывает столь же непрерывное изменение зависимых переменных, и эти изменения переменных в свою очередь могут быть приводимы в определенное функциональное отношение, равным образом устанавливаемое при посредстве связи в действии. Но, если должны быть установлены в форме некоторой функции общеобязательным способом непрерывные изменения двух зависящих друг от друга величин, при этом не может быть речи об отношении любых конечных изменений, которое могло бы быть весьма изменчивым при одной и той же функции, но в основу может быть положено лишь то изменение, которое получается благодаря бесконечному разложению действительно данных конечных изменений. Лишь в возможности такого бесконечного разложения заключается, с одной стороны, критерий непрерывности соотносительных изменений величин, а с другой стороны лишь благодаря ей же для этого случая непрерывного изменения получается общеобязательное мерило отношения соотносительных изменений. Функции, образуемые таким образом между изменениями переменных некоторой функции, суть дифференциальные функции, или, так как они могут быть выведены из первоначальных функций между переменными величинами, — производные функции. При этом связь в действии между переменными производной функции зависит от связи в действии, выраженной в первоначальной функции, но, в силу ограничения рассмотрения отношениями бесконечно малых величин, она существенно отличается от последней. Из этого же условия для образования производных функций вытекают особенные правила действия, благодаря которым последние отличаются от арифметических действий, применяемых к конечным величинам. Таким образом производные функции в двояком отношении подчинены понятию функции: с одной стороны, они сами суть функции переменных величин, а именно изменений переменных; а во-вторых, они суть функции первоначальных функций, с которыми их и связывает поэтому особая связь в действии. Благодаря этой связи они посредством определенного действия, дифференцирования, могут быть выводимы из первоначальных функций, посредством обратного действия, интегрирования, из них могут быть опять получаемы первые. В силу этого отношения производные функции сами могут быть подвергаемы подобному же выведению новых функций, и этим путем образуются производные второго порядка, и т. д.

С развитием понятия функций от функции исчерпывается область применений, которые может находить в сфере чистых формальных понятий общее понятие логической зависимости. И с точки зрения рассмотрения чистых познавательных деятельностей эти применения в высшей степени важны. В них обнаруживается обилие разнообразных форм, принимаемых принципом основания, смотря по специальным условиям его применения. Исходя из простой, допускающей одно значение, приуроченности друг к другу двух величин, которые мыслятся как переменные, понятие функции подразделяется, с одной стороны, на основании предположений, составляемых о характере изменений величин, с другой стороны — на основании выразимой в определенных арифметических действиях закономерности, существующей между приуроченными друг к другу величинами. Затем от допускающей одно значение зависимости отделяется зависимость, допускающая много значений и приводящая к произвольному приурочиванию, при котором связь зависимых величин в действии бывает не источником функции, но становится, напротив того, задачей, возникающей благодаря наличности упомянутой приуроченности. Наконец важнейший и наиболее общий вид изменения переменных, непрерывное изменение, приводит к понятию функции некоторого изменения величин, и эта форма по отношению к первоначальной функции величин сама получает в то же время значение функции от функции. Из всех этих форм функций в особенности функции непрерывно изменяющихся величин и их изменений, помимо формального своего значения, приобретают большую важность благодаря тому, что в опыте их всюду можно применять к причинной связи явлений. Таким образом, встречающиеся при этом формы логической зависимости имеют преобразовательное значение для приложений принципа основания ко всему содержанию нашего опыта. Таким образом, понятие функции в своих важнейших формах вместе с тем способствует познанию действительности в большей степени, чем какое-либо другое из чистых формальных понятий, и благодаря этому оно служит непосредственной подготовительной ступенью при переходе к чистым реальным понятиям.