Теорема компенсации. 
Теория электрических цепей. 
Часть 1

Теорема компенсации формулируется следующим образом: токи и напряжения ветвей произвольной электрической цепи не изменятся, если любую ветвь этой цепи заменить идеальным источником ЭДС, напряжение которого равно напряжению данной ветви и имеет одинаковое с ним направление, либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по направлению.

Напомним, что направление напряжения на зажимах источника ЭДС противоположно направлению ЭДС, т. е. противоположно направлению стрелки в условном графическом изображении источника (см. рис. 1.12, а).

Теорема компенсации базируется на общих свойствах основной системы уравнений электрического равновесия цепи и не накладывает ограничении на тип исследуемой цепи или характер внешнего действия. Рассмотрим, например, линейную электрическую цепь, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим в данной цепи произвольную ветвь, комплексное сопротивление которой равно Z^ (рис. 4.13, а). Напряжение и ток этой ветви связаны уравнением, составленным на основании закона Ома в комплексной • •.

форме Uk ⁼ Zkh• В соответствии с теоремой компенсации выделенную ветвь можно заменить идеальным источником ЭДС (рис. 4.13, б), напряжение которого равно напряжению данной ветви Ё = Uk = Zklk и имеет одинаковое с ним направление (ЭДС источника направлена навстречу ианряже;

Рис. 4.13. К доказательству теоремы компенсации

нию ветви), либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви / = Д = {Д/Z* и совпадает с ним по направлению (рис. 4.13, в).

Составляя основную систему уравнений электрического равновесия каждой из цепей (см. рис. 4.13, б, в), убедимся, что она совпадает с основной системой уравнений электрического равновесия исходной цепи. Действительно, при формировании уравнений электрического равновесия исходной цепи напряжение U = выделенной ветви учитывается со знаком «плюс» в левой части уравнений баланса напряжений, составленных для контуров, содержащих эту ветвь (предполагается, что направление обхода этих контуров совпадает с направлением тока Д). При составлении уравнений электрического равновесия цени (см. рис. 4.13, 6) член {Д = Z*/* в левой части соответствующих уравнений отсутствует, однако в правой части этих уравнений появляется член -Ё = -0^ = = -ZiJk. Следовательно, замена комплексного" сопротивления Zk идеальным источником напряжения Е = Z^I^ соответствует переносу члена Z* Д из левой части уравнений баланса напряжений в правую. При составлении уравнений электрического равновесия исходной цепи (см. рис. 4.13, а) ток Д выделенной ветви учитывается в левой части уравнений баланса токов; соответствующие уравнения преобразованной цепи (см. рис. 4.13, в) вместо тока Д, через_#комплексное сопротивление Z*, содержат равный ему ток J = Д = [Д/Z* идеального источника тока. Таким образом, цепи, схемы которых приведены на рисунке, являются эквивалентными.

Необходимо отметить, что источники напряжения и тока, заменившие согласно теореме компенсации сопротивление ветви Z*, зависимые: ЭДС источника напряжения Ё прямо пропорциональна току ветви, содержащей этот источник, а ток источника тока J прямо пропорционален напряжению этой ветви. Из эквивалентности цепей следует, что идеальный источник напряжения, ЭДС которого пропорциональна отдаваемому току (Ё = Z*/*), и идеальный источник тока, ток которого прямо пропорционален напряжению на зажимах источника (J = Ujg/Zfg), могут быть заменены комплексным сопротивлением Zf, = E/I* = U^/J.

Теорема компенсации расширяет возможности эквивалентных преобразований электрических цепей, в частности ее применение совместно с переносом источников тока или напряжения позволяет производить перенос любых двухполюсных элементов электрической цепи.

Пример 4.12. Применим теорему компенсации для переноса сопротивления Z₃ (см. рис. 4.2, а). Последовательность выполняемых преобразований показана на рис 4.14, а — в. На первом шаге преобразований сопротивление Z₃ в соответствии с теоремой компенсации заменяется источником напряжения ?3 = Z3/3 (см. рис. 4.14, а). Далее источник напряжения ?₃ переносится из третьей ветви во вторую и четвертую, управляющий источником ток /3 при этом^{выражается} через токи второй и четвертой ветвей: /₃ = /2 — /₄. Источник ?₃ во второй и четвертой ветвях заменяется двумя источниками: ?₃ = Z₃/₂ — Z¾, а узел 2 из цепи исключается (см. рис. 4.14, б).

Источники напряжения Z3/2 во второй и Z₃/₄ в четвертой ветвях представляют собой управляемые источники, напряжения которых пропорциональны токам источников и, следовательно, каждый из них может быть заменен сопротивлением Z₃, включенным во второй и четвертой ветвях (см. рис. 4.14, в). В результате проведенных преобразований третья ветвь оказалась исключенной из схемы, ее сопротивление Z₃ перенесено во вторую и четвертую ветви. Кроме того, в этих ветвях появились источники напряжения Z₃/₄ и Z₃/₂, управляемые токами четвертой и второй ветвей.

Преобразование переноса сопротивлений представляет собой частный случай универсальных преобразований переноса, разработанных нроф. М. А. Шакировым [10].

Перенося сопротивление Z₆ из шестой ветви в четвертую и пятую, из полученной схемы цепи (см. рис. 4.14, в) можно исключить шестую ветвь (рис. 4.14, г). Далее, перенося источник ЭДС? во вторую ветвь и учитывая, что элементы, включенные последовательно с источником тока, не влияют на ток пятой ветви, получаем схему замещения исходной цепи, представляющую собой три замкнутые ветви (рис. 4.14, д), токи которых равны токам главных ветвей исходной цепи (см. рис. 4.2, а)> а их компонентные уравнения

совпадают с контурными уравнениями исходной цепи (см. пример 4.4) при /_и = /₂, /₂₂ = /4, /33= /5 = ./.