Переход через скорость звука. 
Сопло Лаваля

По определению числом Маха называют отношение скорости потока к местной скорости звука: М = V/a.

Вспомним выражение для расчета потока массы.

В стационарном состоянии произведение в правой части постоянно и б/(рДТ) = 0, т. е.

или, если разделить на рAV,

Кроме того, для теплоизолированного потока в стационарном состоянии dh = -VdV.

поэтому для изоэнтропного потока dh = —.

Р Давление формально можно представить как функцию плотности и энтропии рp (p, s), тогда полный дифференциал давления равен.

Для изоэнтропного потока, как известно,.

откуда Теперь полученные соотношения можно объединить:

Полученное соотношение связывает площадь канала и скорость потока в данном сечении. Здесь М= V/a — число Маха, которое равно отношению скорости потока к местной скорости звука.

Рассмотрим четыре случая.

• 1. Дозвуковое сопло, М < 1, поток ускоряется, dV > 0, эти условия предполагают, что dA < 0, канал сужается в направлении потока.
• 2. Сверхзвуковое сопло, М > 1, поток ускоряется, dV > 0, эти условия предполагают, что dA > 0, канал расширяется в направлении потока.
• 3. Сверхзвуковой диффузор, М > 1, поток тормозится, dV < 0, эти условия предполагают, что dA < 0, канал сужается в направлении потока.
• 4. Дозвуковой диффузор, М < 1, поток тормозится, dV < 0, эти условия предполагают, что dA > 0, канал расширяется в направлении потока.

Все четыре случая изображены на рис. 7.8.

Итак, чтобы ускорить поток, который при р_кр>р_ср достиг скорости звука на выходе из суживающегося сопла, газ в потоке должен расширяться, т. е. сопло нужно расширять (рис. 7.9).

Рис. 7.8. Схематическое изображение взаимосвязи типа течения

и профиля канала

Рис. 7.9. Законы изменения скорости потока и скорости звука по длине для сопла Лаваля

Такое комбинированное сопло, состоящее из суживающейся и расширяющейся частей, впервые было применено для получения сверхзвуковых скоростей истечения газа шведским инженером К. Г. П. Лавалем в 1880-х гг. Поэтому сопла такого типа часто называют соплами Лаваля (converging-diverging nozzle).

Очевидно, соотношения для расчета скорости потока и массовой скорости, которые были получены для суживающегося сопла, справедливы и для сопла Лаваля, поскольку в основе этих соотношений лежат только законы сохранения.

Нужно отметить, что для разгона потока до сверхзвуковой скорости недостаточно просто использовать сопло Лаваля. Если давление в самом узком сечении канала равно давлению окружающей среды, ускорения потока в расширяющейся части сопла добиться нельзя. Однако и выполнение условия р_кр > р_ср не гарантирует разгон потока в сопле Лаваля. При недостаточно высоком давлении в критическом сечении под действием ударной волны происходит отрыв потока от стенок сопла, что приводит к его торможению. В последнем случае допущения об изоэнтропном характере течения и одномерности потока применять нельзя.

Используя соотношения (7.6) и (7.7), а также то обстоятельство, что при установившемся режиме течения rh = const, нетрудно получить соотношение.

которое связывает отношение площадей текущего и критического сечений сопла с отношением давлений в текущем сечении и на входе в сопло. Из этого соотношения следует, в частности, что при изменении давления на входе в сопло р_х пропорционально изменяется давление во всех сечениях сопла.

В следующем примере рассмотрено влияние давления в окружающей среде на работу сопла.

Пример 7.1.

Площадь суживающегося сопла на выходе равна 0,001 м². Скорость воздуха на входе в сопло пренебрежимо мала, давление = 1 МПа, Т_х = 360 К. Для изоэнтропиого потока идеального газа с k = 1,4 рассчитайте поток массы и М₂ для двух случаев: а) р_ср = 0,5 МПа; б) р_с{> = 0,8 МПа.

Решение По формуле находим р_кр = 0,528.

Для случая а) р = р_с[) / р_{ =0,5<�р_кр — сверхзвуковой (критический) режим истечения, поэтому на выходе сопла скорость потока равна местной скорости звука (М₂ = = 1), а давление —.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Для случая 6) Р = р_ср / р, = 0,8 > Р_К1) — докритический режим истечения, поэтому Вспоминая, что р_{г = RT_{, для воздуха R = 286,7 ДжДкг • К), получаем V₂ = 211,2 м/с. Параметры на срезе сопла найдем, но формулам.