Основные способы описания сигналов

Для проведения анализа электрической цепи необходимо располагать математическим описанием воздействия. Наиболее широкое распространение получили описания сигналов во временной и частотной областях. Оба способа базируются на представлении сигнала в виде суммы элементарных колебаний.

Временное описание сигналов. В качестве элементарного колебания примем одиночный прямоугольный импульс. Исходный сигнал x (t) представим в виде примыкающих друг к другу импульсов (рис. 1.6.2):

где ф/f) — к-й одиночный импульс с амплитудой Х_к и длительностью At. Импульс с,_к(0 получен вычитанием двух еди;

Puc. 1.6.2. Представление x (t) с помощью примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов ничных ступенек g (? — t_k), сдвинутых на At, с последующим умножением на Из рис. 1.6.2 следует, что уменьшением длительности At элементарных импульсов ^,(0 можно повысить точность представления исходного сигнала x (t). Переходя в (1.6.1) к пределу при At -> 0, примем t_k = т, Х_к = х (т), At = ск,.

и заменим сумму интегралом, в результате чего получим представление исходного сигнала в виде следующего выражения:

где 8(t — т) — дельта-функция, сдвинутая по оси времени на величину т.

Выражения вида (1.6.3) называют сверткой сигналов х (т) и 8(? — т).

Как следует из (1.6.2) при т = 0, дельта-функция 8(C) представляет собой абстрактный сигнал, полученный при At —> 0 как предельная последовательность элементарных прямоугольных импульсов с постоянной площадью. Чтобы сохранить постоянной площадь или интеграл.

8-импульс должен иметь бесконечную амплитуду и нулевую длительность. Выражение (1.6.3) позволяет определить мгновенное значение сигнала x (t) для любого момента времени, что свидетельствует о фильтрующих свойствах дельта-функции. Заметим, что фильтрующий свойства 8-импульсов используются при дискретизации аналоговых (непрерывных) сигналов. Располагая значениями сигнала на всей временной оси, можно судить о динамике процесса, описываемого этим сигналом. Поэтому описание сигнала в виде (1.6.3) называют динамическим представлением сигнала x (t) [6].

Описание сигналов в частотной области. При анализе таких цепей, как фильтры, необходимо располагать сведениями о спектре сигналов. Для определения спектра периодических сигналов в качестве элементарных колебаний используется полный набор тригонометрических функций {cos&w?, sin&оо?}, где k = 0, 1, 2,… Исходный сигнал x_T(t) представляют в виде ряда Фурье:

где A_k, B_k — амплитуды спектральных составляющих с кратными частотами /.

Функции cos^cot, sin? co? обладают ортогональными свойствами, что позволяет получить простую связь между амплитудами A_k, B_k и исходным сигналом в виде временной функции x_T(t).

Для определения спектра аналоговых непериодических сигналов используются преобразования Фурье и Лапласа, а для дискретных — z-преобразование.