Основные уравнения электростатики

Постоянное электрическое поле может быть описано посредством векторного поля Е = Е (г) или скалярного поля <�р = у?(г). Эти функции можно найти при помощи двух основных законов электростатики — закона Кулона и принципа суперпозиции. Так, например, напряженность электрического поля Е в произвольной точке пространства можно вычислить, но формулам (1.10) и (1.11):

которые выражают собой эти законы.

Закон Кулона и принцип суперпозиции приводят к уравнениям (1.19) и (1.20) для потенциала tp электрического поля.

которые позволяют найти потенциал поля в произвольной точке пространства. В тех случаях, когда электрические заряды распределены непрерывно в пространстве, на поверхности или вдоль линии, вместо суммирования в принципе суперпозиции следует производить интегрирование.

Из закона Кулона и принципа суперпозиции вытекают интегральные уравнения (1.37) и (1.62), т. е. теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля и теорема Гаусса:

которым должно удовлетворять векторное поле Е = Е (г), описывающее постоянное электрическое поле.

Интегральным уравнениям (1.70) соответствуют два дифференциальных уравнения для постоянного электрического поля Е = Е (г).

где символ div Е обозначает сумму производных от проекций Е_х> Е_у, Е_г вектора напряженности по координатам:

Это выражение называют дивергенцией вектора Е .

Уравнения (1.71) образуют систему, которая полностью определяет постоянное электрическое поле в вакууме. Это означает, что для заданной функции е = *?(г), описывающей распределение зарядов в пространстве, из уравнений (1.71) можно найти напряженность Е = Е (г) электрического поля, создаваемого этими зарядами. Это можно сделать следующим образом. В силу тождества (1.25) векторная функция (1.22).

является решением первого из уравнений (1.71). Подставив это выражение во второе уравнение, придем к уравнению для потенциала = ^>(г).

называют оператором Лапласа, а уравнение (1.73) — уравнением Пуассона. Если некоторая часть пространства свободна от зарядов (q = 0), то уравнение (1.73) переходит в уравнение Лапласа

Нахождение из уравнений Пуассона или Лапласа функции у? = <�р ( г), которая описывает распределение потенциала в пространстве, является одной из основных задач электростатики.