Линейная алгебра

Обратная матрица.

Матрица A^-1 — обратная для матрицы A, если AA^-1=A^-1A=I

Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA0.

где A_ij — алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A.

Свойства: (A^-1)^-1=A,

(AB)^-1=B^-1A^-1, detA^-1=1/detA

В частности:

Решение квадратной системы:

Ax=b

если A0, то x=A^-1b

Матричные уравнения.

XA=B X=BA^-1

AX=B X=A^-1B

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина определителя не изменится, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

2. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строк (столбцов*), то detB=detA.

3. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца*) определителя можно вынести за знак определителя.

4.* Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен 0.

7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее определитель равен произведению элементов на главной диагонали.

*-неизученные свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системой решений называется система из (n-r) линейно независимых решений, где n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:

ФСР: l₁, l₂,…, l_n-r

ФСР может быть бесконечное множество.

Если l₁, l₂,…, l_n-r-ФСР однородной системы, то

x_оо = с₁l₁+с₂l₂+…+с_n-r l_n-r

x_он = x_оо + x_чн

Метод Крамера:

Если =0 и не все x_j=0, то система несовместна.

Если 0, то система имеет единственное решение, где x_j — определитель, полученный заменой j-го столбца в определителе системы столбцом свободных членов.