Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями

Во многих из упомянутых работ рассматривается дифференциальное уравнение (0.1) x = f{t, x) + g{t, x) vс линейным вхождением обобщенной функции v. Системы вида (0.1) возникают, например, в задачах оптимального управления с конусообразными фазовыми ограничениямина управление v [21, 33, 110]. Приведем пример одной такой задачи. Следующей особенностью подхода к рассмотрению дифференциальных уравнений собобщенными функциями в пространстве V (см. [21, 33, 101, 110, 115]) является неоднозначность в определении понятия решения, которая выражается в существованииразных решений одной и той же начальной задачи для системы (0.1), если решение (0.1)понимается в смысле разных работ [51, 104, ПО]. Указанная множественность отмечалась многими авторами (см. [51, 110]), и оказывается тесно связана с некорректностьюонерации умножения обобщенной функции на разрывную в пространстве V. В этойсвязи в [51, с.34] отмечается, что выбор того или иного определения понятия решениядолжен быть обусловлен тином нредельного перехода, который приводит к дифференциальному уравнению с обобщенными функциями. Приведем в иесколько более общейформе пример из [51, с.34]. Отметим также, что в общем случае решение начальной задачи для системы (0.1) всмысле выполнения первого предельного перехода (см. пример 0.2) зависит от выборадельта-образного семейства {ае}е>о. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения семейства {ае}Е>о как части системы (0.1) (см. [21, 33, 110]), несмотря на то, что априорный выбор того или иного способа приближения дельта-функции 6 г? ^ 'не обусловлен никакими свойствами топологии пространства обобщенных функций V. Далее в пространстве TZ' рассматривается дифференциальное уравнение вида (0.8) x = f{t, x)+g{t)v, где V? TV (О системах с обобщенными функциями из V вида (0.8) см. [103]). Дифференциальное уравнение общего вида (0.9) x = f{t, x)+g{t, x) v, рассматривается в пространстве Т', т. е. v &-Т'. Запись дифференциальных уравнений (0.8) и (0.9) оказывается корректной с точки зрения теории обобщенных функций. В отличие от пространства V, в пространствах 1Z' и Т' решение начальной задачи, понимаемое в смысле первого предельного перехода (см. пример 0.2), единственно. В настоящей работе показано, что в пространстве Т' содержатся дельта-функции, реализующие предельный переход как первого, так и второго типа (см. пример 0.2), чтопозволяет объеденить разные определепия понятия решения в рамках одного подхода, основанном на пространстве обобщенных функций Т'.Пространство обобщенных функций Т' оказалось удобным для определения и изучения свойства инвариантности замкнутного множества относительно системы с обобщенными функциями вида (0.9). В диссертации приводятся достаточные условия положительной инвариантности, обобщающие известные достаточные условия положительнойинвариантности относительно системы с обычной правой частью. Приводятся достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесиясистем с обобщенными функциями. Изучение свойства ноложительной инвариантности отчасти мотивировано необходиостью рассмотрения обобщенных управлепий в задаче удержания решения в заданномзамкнутом множестве [50]. Именно, приводится пример, показывающий, что управление, удерживающее решение в заданном замкнутом множестве в течение наибольшегопромежутка времени, может не существовать в классе обычных управлений, но можетсуществовать в классе обобщенных управлений.9Некоторые результаты настоящей работы применяются для исследования одной модификации популяционной модели Бевертона-Холта.В первом параграфе вводится в рассмотрение пространство обобщенных функцийTZ’j^ = 'П'^{1), элементами которого являются линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве разрывных основных функций TZm. • Пространство TZ^ состоит из функций if е Gm, имеющих компактный носитель supp (у?) С /, и наделенотопологией, относительно которой TZm локально-выпукло и содержит Dm в качествеподпространства (см. используемые обозначения в списке обозначений, с. 3).Теорема 1.1 Пусть f G V^. Тогда существует линейное непрерывное продолж. ениеf с Т>т па Tim. Производные высшего порядка определяются индуктивно. В частности, производные10дельта-функций имеют видгде О ^ I ^ т, т Е I, (р Е TZm • В настоящей работе доказывается теорема об общемвиде обобщенной функции, сосредоточенной в точке, так что оказывается, что в 7?.'"^ нетдругих продолжений дельта-функции и ее производных с V^ на TZj^, сосредоточенныхв точке, кроме определенных выше. Пусть п С I — подинтервал, to € п. Решением начальной задачи (0.10) на п называется функция X Е BVfo (,(J7) такая, что выполнено включение {t, x{t)) € D длявсех t Е О, X удовлетворяет начальному условию в (0.10) и существует производнаяX Е 72." '(О) такая, что х я х обращают уравнение в (0.10) в равенство в пространстве 1Z" ''{U). Напомним, что операции дифференцирования, композиции, умножения, возникающие при подстановке х в дифференциальное уравнение в (0.10), корректноопределены в пространстве обобщенных функций 7 (а) / f{t)dg{t).Ju JuДля д е BVi" р, а е С", / € GJJ,^ «определим значение а-интеграла с использованием равенства (0.37), где («/)(t) определяется согласно (0.36).

1. Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функцонально-дифференциальных уравнений, М.:Инст. комп. иссл., 2002, 384 с.

2. А. В. Анохин, О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР, 286, 1986, с.1037−1040.

3. Я. Ацел, Ж. Домбр, Функциональные уравнения с несколькими переменными, Физматлит, 2003, 432 с.

4. В. Н. Баранов, Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием // Дифференц. уравнения, 39, 2003, с. 858.

5. В. Н. Баранов, Задачи выживания для систем с последействием // Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 28, 2003, с. 3−114.

6. B.C. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической физики. Физматлит, 2000, 400 с.

7. И. Гайшун, Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения, Минск: Наука и техника, 1983, 253 с.

8. В. И. Гурман, Принцип расширения в задачах управления, Наука, 1985, 288 с.

9. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы: общая теория, УРСС, 2004, 895 с.

10. Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, 1967, 472 с.

11. В. Я. Дерр, К определению понятия решения дифференциального уравнения с обобщенными функциями // Докл. АН СССР, 298, 1988, с. 269−272.

12. В. Я. Дерр, О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2000.

13. В. Я. Дерр, К. И. Дизендорф, 0 дифференциальных уравнениях в С-обобщенных функциях // Изв. вузов. Матем., 40, 1996, с. 37−47.

14. В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов, Замечания о квазиравномерной сходимости // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2002, с. 96−102.

15. В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов, Обобщенные функции с разрывными основными функциями и линенйные дифференциальные уравнения // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2005, с. 35−58.

16. В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов, Альфа-интеграл типа Стилтьеса // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2006, с. 41−63.

17. В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов, Об умножении обобщенных функций // Тезисы конференции «Математическая теория управления и математическое моделирование», Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 36, 2006, с. 43−48.

18. В. Я. Дерр, Д. М. Кинзебулатов, Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в пространстве Т' // Тезисы конференции «Теория управления и математическое моделирование», Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 29−31.

19. В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк, Оптимальное импульсное управление с приложениями, Физматлит, 2003, 255 с.

20. С.Т. Зав&лигцин, Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 26,1990, с. 1316−1323.

21. В. К. Иванов, Гиперраспределения и умножение распределений Шварца // Докл. АН СССР, 204, 1972, с. 1045−1049.

22. К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, 1967, 624 с.

23. JI.B. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, 1975, 741 с.

24. Д. М. Кинзебулатов, К качественной теории импульсных систем // Вестн. Ижевского гос. техн. ун-та, 4, 2006 Л^-гг.

25. Д. М. Кинзебулатов, Свойство выживаемости для систем с обобщенными функциями // Тезисы конференции «Теория управления и математическое моделирование», Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 59−61.

26. Д. М, Кинзебулатов, Задача минимизации величины скачка решения в априорно неизвестыне моменты времени // Тезисы 26-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ, Москва, 2004, с. 61.

27. А. И. Колмогоров и С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, 1981, 544 с.

28. Н. Н. Красовский, Теория управления движением: линейные системы, Наука, 1968, 475 с.

29. А. Ю. Левин, Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных уравнений // Вестн. Ярославского ун-та, 8,1974, с. 122−144.

30. В. П. Максимов, A.H. Румянцев, Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Матем., 5,1993, с. 56−71.

31. Б. М. Миллер, Метод разрывной замены времени в задачах управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика, 54, 1993, с. 3−32.

32. Б. М. Миллер, Оптимизация динамических систем с обобщенными управлениями // Автоматика и телемеханика, 6, 1989, с. 23−24.

33. Б. М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями I. Проблема существования решения. // Автоматика и телемеханика, 4, 1995, с. 62−76.

34. Б. М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями II. Представление решений с помощью дифференциальных уравнений с мерой. // Автоматика и телемеханика, 5, 1995, с. 56−70.

35. В. Д. Мильман, А. Д. Мышкис, Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский матем. журнал, 1, 1960, с. 233−237.

36. А. Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сборник, 74, 1967, с. 202−208.

37. Ю. В. Орлов, Виброкорректные дифференциальные уравнения с мерами // Матем. заметки, 38, 1985, с. 110−119.

38. Ю. В. Орлов, Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями, Паука, 1988.

39. В. И. Родионов Абстрактные дифференциальные уравнения в пространстве прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 25, 2002.

40. В. И. Родионов Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 31, 2005, с. 3−78.

41. A.M. Самойленко, Н. А. Перестюк, Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 13, 1977, с. 1981;1992.

42. A.M. Самойленко, Н. А. Перестюк, Об устойчивости решений системы с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 17, 1981, с. 1995;2001.

43. А. Н. Сесекин, О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной вариации // Дифференц. уравнения, 25, 1989, с. 1925;1932.

44. А. Н. Сесекин, Свойства множества достижимости динамической системы с импульсным управлением // Автоматика и телемеханика, 2, 1994, с. 52−59.

45. А. Н. Сесекин, О связности множества разрывных решений нелинейной динамической системы с импульсным управлением // Изв. вузов. Матем., 11, 1996, с. 85−93.

46. А. Н. Сесекин, О непрерывной зависимости от правых частей и устойчивости аппроксимируемых решений дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения, 11,1986, с. 2009;2011.

47. А. Н. Сесекин, О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем., 6, 1994, с. 83−89.

48. А. З. Фазылов, Достаточные условия оптимальности для задачи выживания // Прикл. Матем. Мех., 61, 1997, с. 535−537.

49. А. Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, 1985, 224 с.

50. Г. М, Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегального исчисления. Лань, 1997, 800 с.

51. А. Г. Ченцов, К вопросу о компактификации пучка траекторий одной абстрактной управляемой системы // Изв. Вузов. Матем., 528, 2006, с. 55−65.

52. Г. Е. Шилов, Математический анализ. Второй специальный курс, Изд-во МГУ, 1984, 208 с.

53. М. Ashorida, On systems of linear generalized ordinary differential and integral inequalities // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p.122−124.

54. M. Ashorida, On successive approximations for solving the Cauchy problem for a system of linear generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p. lll-112.

55. M. Ashorida, On a method of the solution of the multipoint boundary value problem for a system of generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 5, 1995, p.119−111.

56. J. Aubin, Viability Theory, Birkhauser, 1991, 326 p.

57. J.-P. Aubin, Viability kernels and capture basins of sets under differential inclusions, SIAM J. Optim and Contr., 40, 2001, p. 853−881.

58. J. Aubin, A survey on viability problem // SIAM J. Optim and Contr., 28, 1990, p. 749−788.

59. J. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viablity Theory, Springer-Verlag, 1984, 388 p.

60. J. Aubin, H. Doss, Characterization of stochastic viability of any nonsmooth set involving its generalized contingent curvature // Stoc. Anal. AppL, 21, 2003, p. 955−981.

61. J. Aubin, G. DaPrato, Stochastic Nagumo’s viability theorem // Stoc. Anal. AppL, 13, 1995, p. 1−11.

62. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension: possible approaches and applications to delta-function and its derivatives // J. Math. Anal. AppL, 196, 1995, p. 885−901.

63. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension and first application to quantum field theory, // J. Math. Anal. AppL, 266, 2002, p. 298−320.

64. H. Balasin, Geodesies for impulsive gravitational waves and the multiplication of distributions, // Class. Quantum Grav., 14, 1997, p. 455−462.

65. R.J.H. Beverton, S.J. Holt, The theory of fishing, in Sea FisheriesTheir Investigation in the United Kingdom // M. Graham, ed., Edward Arnold, London, p. 372−441.

66. F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2001, 416 p.

67. E. Braverman, D. Kinzebulatov, On linear peturbrations of the Ricker model // Math. Biosci., 202, 2006, p. 223−239.

68. E. Braverman, D. Kinzebulatov, Nicholson’s blowflies equation with a distributed delay // Can. AppL Math. Q. (в печати).

69. J.-F. Colombeau, Elementary Introduction to New Generalized Functions", North-Holland Pbulishing Co, Amsterdam, 1985, 281 p.

70. J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and physics. Lecture Notes in Mathematics 1532, Springer, 1992, 183 p.

71. J.-F. Colombeau, A. Meril, Generalized functions and multiplication of distributions on smooth manifolds // J. Math. Anal. AppL, 186, 1994, p. 357−364.

72. J.F. Colombeau, A. Heibig, Nonconservative products in bounded variation functions // SIAM J. Math. Anal., 23 1992 p. 941−949.

73. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. I. // C. R. Acad. Sci. Paris, 317,1993, p. 851−855.

74. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. II. // C. R, Acad. Sci. Paris, 319,1994, p. 1179−1183.

75. J. F, Colombeau, A.Y. Le Roux, A. Noussair, B. Perrot, Microscopic profiles of shock waves and ambiguities in multiplication of distributions // SIAM J. Num. Anal., 26, 1989 p. 871−883,.

76. R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics, New York, 1962, 560 p.

77. V.Ya. Derr, A generalization of Riemann-Stieltjes integral // Func.-DifE. Equ., 2002, p. 325−341.

78. V. Derr, D. Kinzebulatov, Distributions with dynamic test functions and multiplication by discontinuous functions // Preprint, arXiv: math. CA/603 351, 2006.

79. V. Derr, D. Kinzebulatov, On extension of Schwartz distributions to the space of discontinuous test functions // Preprint, arXiv: math. FA/6 061 126, 2006.

80. J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960, 361 p.

81. R. Edie, On the optimal control of the Vidale-Wolde advertising model // Optim. Contr, Appl. Meth., 18,1997, p. 59−72.

82. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice Hall, 1969, 252 p.

83. G. Haddad, Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. Math., 31, 1981, p. 83−100.

84. G. Haddad, Functional viability theorems for differential inclusions with memory // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non. Lm? aire, 1, 1984, p. 179−204.

85. R. Hermann and M. Oberguggenberger, Ordinary differential equations and generalized functions // Nonlinear theory of generalized functions, Vienna, 1997, p. 85−98.

86. D. Kinzebulatov, Systems with distributions and viability theorem // J. Math. Anal. Appl (в печати).

87. D. Kinzebulatov, On one-sided Dirac measures // Abstracts of the Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences, Edmonton, 2006, p. 4.

88. I. Kmit, Multiplication of distributions and distributional solution for a hyperbolic problem arising in population dynamics, Preprint, arXiv: math. AP/402 002, 2004.

89. V. Krivan, Perturbation of viability of problem // J. Math. Anal. Appl, 155, 2001, p. 131−139.

90. P. Kurasov, Distributions theory with discontinuous test functions and differential operators with generalized coefficients //J. Math. Anal. Appl., 201, 1996, p. 297−323.

91. P. Kurasov, J. Boman, Finite rank singular pertrubations and distributions with discontinuous test functions // Proc. Amer. Math. Soc., 126,1998, p. 1673−1683.

92. J. Kurzweil, Generalized ordinary differential equations // Chezhosl. Math. Journal, 8,1958, p. 360−388.

93. J. Kurzweil, Linear differential equations with distributions as coefficients // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math, 9,1959, p.557−560.

94. B.M. Miller, The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control // SIAM J. Optim and Contr., 34, 1996, p. 1420−1440.

95. M. Nagumo, Uber die Lage der Integralkurven gewohnliker Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 24 1942, p. 551−559.

96. E. Ozcag, Defining the k’th powers of the Dirac-delta distribution for negative integers, // Appl. Math. Letters, 14, 2001, p. 419−423.

97. S.G. Pandit, Systems described by differential equations containing impulses // Rev. roum. math, pures et appl., 26, 1981, c. 879−887.

98. S.G. Pandit, S.G. Deo, Differential Equations Involving Impulses. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1982, 102 p.

99. M. Motta, F. Rampazzo, Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // SIAM J. Optim. and Contr., 34,1996, p. 199−225.

100. M.R.M. Rao, V.S.H. Rao, Stability of impulsively perturbed systems // Bull. Australian Math. Soc., 1977, 16, p. 99−110.

101. R.W. Rishel, An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Optim. and Contr., 3, 1965, p. 191−205.

102. A.M. Samoilenko, N.A. Perestyuk, Impulsive differental equations, World Sicientific, 1995, 462 p.

103. C.O.R. Sarrico, The linear Cauchy problem for a class of differential equations with distributional coefficients // Portugalie Math., 52, 1995, p. 379−390.

104. C.O.R. Sarrico, Some distributional products with relativistic invariance // Portugalie Math., 51,1994, p. 283−290.

105. C.O.R. Sarrico, Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation // J. Math. Anal. Appl., 281, 2003, p. 641−656.

106. G.N. Silva, R.B. Vinter, Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem // SIAM J. Optim. and Contr., 35, 1997, p. 1829−1846.

107. L. Schwartz, Theorie des distributions I, II, Paris, 1950.

108. A.N. Sesekin, S.T. Zavalishin, Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ, 1997, 256 p.

109. M. Tvrdy, Linear bounded functionals on the space of regular regulated functions // Tatra Mountains Mathematical Publications, 8,1996, p. 203−210.

110. M. Pelant, M. Tvrdy, Linear distributional differential equations in the space of regulated functions // Mathematica Bohemica, 118, 1993, p. 379−400.

111. M. Tvrdy, On the continuous dependece on a parameter of solutions of initial value problems for linear generalized differential equations // Func.-Diff. Equ., 1997, p. 483−498.

112. M. Tvrdy, Regulated functions and the Perron-Stieltjes integral // Casopis Pest. Mat., 114, 1989, p. 187−209.

113. R.B. Vinter, F.M.F.L. Pereira, A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Optim. and Contr., 26,1988, p. 205−229.

114. J. Warga, Variational problems with unbounded controls // J. SIAM. Ser. A. Control, 3, 1965, p. 428−434.