Продолжение сохраняющих меру действий с подгруппы на группу

Актуальность темы

Локально компактная группа G с инвариантной мерой тд действует на пространстве с мерой (X, р), если определено измеримое отображение S^: (G х Х, тс х р) —У (X, //), ж) нSgx, такое что SiG = id (1g — единица группы G, id — тождественное преобразование) и.

9192х = Sgi^SgzX, для элементов х Е X из множества полной меры, не зависящего от gi, g2-•Действие Sg сохраняет меру, если для всех g? G и любого измеримого множества, А С X rtS^A) =, л (А) по поводу определений см. также [10]). Всюду далее принимается, что (X, /i) — пространство Лебега, а все действия подразумеваются сохраняющими меру. Не ограничивая общности можно считать, что X — [0- 1), /2 — стандартная мера Лебега на прямой.

Классическими объектами эргодической теории являются действия группы Z, т. е. собственно сохраняющие меру преобразования, и потоки — действия группы R. В общей ситуации одним из способов получить информацию о действии Sg может быть изучение ограничения S^ на подгруппы Н С G. Естественно спросить, какие в принципе действия Н могут возникнуть таким образом, иными словами, какие действия Н могут быть продолжены до действия объемлющей группы G.

Определение 0.1. Пусть Н подгруппа в группе G. Будем говорить, что действие Sg продолжает действие если Тд = S/t Vh Е Н. Обозначение: Sq Э Тя.

В задаче о продолжении можно выделить естественные подзадачи, которые несколько неформально перечислены ниже:

— Когда существует продолжение данного действия?

— Является ли свойство иметь продолжение типичным в пространстве всех действий группы HI.

— Для данной пары Н С G привести примеры действий Т#, имеющих и не имеющих продолжения.

— Сколько неизоморфных продолжений может существовать у данного действия и какое число продолжений реализуется в типичной ситуации?

В вопросе о существовании продолжения S^r Э Т#, как правило, подразумевается, что действие Sg должно быть свободным, т. е. для каждого g Е G множество неподвижных точек преобразования Sg имеет меру нуль.

Типичность того или иного свойства понимается в смысле слабой топологии в пространстве Aut (X, д) (если речь идет о преобразованиях) или, более общо, во множестве представлений данной локально компактной группы преобразованиями из Aut (X, /i). При этом существенно, что слабая топология метризуема и соответствующее метрическое пространство полно.

Определение 0.2. Говорят, что некоторое свойство типично, если множество обладающих им действий Sq является массивным, т. е. дополнение к нему в пространстве всех G-действий представляет собой множество первой категории (= объединение счетного набора нигде не плотных множеств).

Классическими вариантами общей задачи о продолжении являются проблемы извлечения корня из преобразования (G = Z, Н = пЪ) и включения преобразования в поток (G = Ж, Н = Z).

Корнем данной степени г, г G Nг > 2, из Т? Aut{X, /i) называется такое сохраняющее меру обратимое преобразование S, что Sr = Т.

Совокупность всех корней данной степени будем обозначать у/Т. Необходимое и достаточное условие существования корня из эргодического преобразовния с чисто точечным спектром было найдено П. Р. Халмо-шем в работе [34]. Эта публикация (см. также [33]) поставила вопрос о существовании преобразований с непрерывным спектром, не имеющих корней. Конструкция таких преобразований была предложена A.M. Сте-пиным в [14] (анонсирована на Международном конгрессе математиков 1966 г.), а также Р. Чеконом [26]. Примеры, доставляемые конструкцией из [14] и ее обобщениями, являются групповыми расширениями и обладают несчетным централизатором, см. также [29]. Пример перемешивающего преобразования То без корней предложил Д. Орнстейн [43]. В конструкции Орнстейна То обладает минимальным централизатором: С (То) = {Tq: п? Щ. Другие примеры можно найти в работах [45], [35]. В [14] показано, что число спектрально неэквивалентных корней простой степени р из преобразования Т с однократным спектром равно рп для некоторого п = 0,1,2,., если, разумеется, множество Ут конечно.

В статье Халмоша [34] упоминается вопрос о включении данного преобразования Т в поток, т. е. о существовании такого потока {Ft, t G М}, что Fi = Т. Множество всех потоков, включающих данное Т, обозначим F (T). В работе В. А. Рохлина [13] эта задача поставлена одновременно с вопросом о возможном числе элементов множества F (T).

Решение этих проблем связано со следующим утверждением, которое получило название «динамическая альтернатива».

Теорема 0.1 (см. [30]). Пусть Г — группа гомеоморфизмов полного сепарабельпого метрического пространства X, имеющая плотную орбиту Тогда всякое множество М. С X, инвариантное относительно Г и обладающее свойством Бэра (т. е. представимое в виде симметрической разности О Д М, где О — открытое множество, а М — первой категории), либо массивно, либо имеет первую категорию.

Доказательство этого предложения использует единственность регулярного представления множества, обладающего свойством Бэра (т.е. такого представления в виде О, А М, где М — первой категории, а О совпадает со множеством внутренних точек своего замыкания, см. [11]).

В случае X — Aut (X, /i) в качестве Г естественно взять саму группу Aut (X, /1), действующую на себе сопряжениями. Назовем множество М С Aut (X, fi) динамическим, если оно обладает свойством Бэра и инвариантно относительно сопряжений.

Теорема 0.1'. Всякое динамическое множество либо первой категории, либо массивно.

Ключевым моментом при использовании «динамической альтернативы» является установление свойства Бэра для множества Л4. Дж. Кинг предложил в [38] использовать для этой цели следующий фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, основанный на конструкции «решета Лузина"(см., например, [9], § 39):

Теорема 0.2. Каждое аналитическое подмножество полного сепара-белыюго метрического пространства обладает свойством Бэра.

Напомним, что аналитическое множество это образ борелевского множества при непрерывном отображении.

После того как произведена редукция к динамической альтернативе, для доказательства типичности того или иного свойства достаточно показать, что множество обладающих им преобразований не является множеством первой категории. Удобное достаточное условие дает следующая лемма. Пусть А: X —> У — отображение топологических пространств. Точка х? X называется точкой локальной плотности отображения А, если для любой окрестности U Эх найдется окрестность V Э А (х), такая что A (U) плотно в V. Множество точек локальной плотности данного отображения, А обозначим LocDen (.A). Лемма 0.3 (R. Dougherty). Пусть А: X н-> У — непрерывное отображение, и X является полным сепарабельным метрическим пространством. Если LocDen (^) плотно в x, то А (Х) не может иметь первую категорию в У.

Изложенный выше подход позволил Дж. Кингу установить, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [38]. A.M. Степин высказал гипотезу о бесконечности множества корней в типичном случае. О. Н. Агеев, опираясь на метод Кинга, доказал это утверждение в [2]. Этот результат был затем независимо уточнен О. Н. Агеевым [3] и A.M. Степиным совместно с A.M. Еременко [48]: было доказано, что типичное преобразование имеет континуум корней данной степени.

Отметим, что в [3] также анонсирован следующий общий результат о продолжении действий групп:

Теорема 0.4. Пусть G — счетная абелева группа с бесконечной циклической подгруппой Н. Тогда типичное преобразование (= действие Н) продолжается до действия G.

Доказанная в [38] теорема о существовании у типичного преобразования корней всех степеней стимулировала решение вопроса о включении преобразования в поток. Ясно, что если преобразование Т включается в поток {St: t € R}, то для каждого г существует бесконечная цепочка корней {5i/rn, n Е N}:

Si/rn)r = Sjrn-1, n > 2, такая что в слабой топологии S/rn —> id, n —>¦ oo. Как отмечено в заключении к [38], доказанное там утверждение гарантирует лишь существование цепочки корней сколь угодно большой, но конечной длины. Более того, существует пример преобразования, имеющего цепочку корней любой наперед заданной конечной длины, но не имеющего бесконечной цепочки (Б. Мадор, [42]). Доказательство существования корней так же не дает контроля над поведением d{S/rn, id) с ростом n (d — метрика в Aut (X, fi), задающая слабую топологию).

Положительный ответ на вопрос о включении типичного преобразования в поток дали дела Рю и де Сэм Лазаро в [44], используя «динамическую альтернативу» и лемму 0.3.

Топологический подход в сочетании с результами настоящей работы, изложенными на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории (Кацивели, Украина, 2000 г.), Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.) и опубликованными в [48], позволил С. В. Тихонову установить многомерные аналоги упомянутых выше результатов. В частности, им доказано, что типичное действие решетки Ък вкладывается в действие группы Шк [19, 20].

Следует отметить еще два варианта постановки задачи о продолжении. В связи с примером Б. Мадора правомерно сформулировать следующий вопрос: если iJ-действие продолжается до действия каждой собственной подгруппы в G, содержащей Н, то в каком случае оно является ограничением G-действия? Другой вариант постановки задачи о продолжении действий на (X, /i) необходимо требует расширения пространства X. Этот случай возникает, когда вместо подгруппы Н С G рассматривается полугруппа S. Пусть, например,.

G = Z, S = Z+, тогда задача продолжения формулируется так: дано Z+^eflcTBne Т в пространстве (X, ц) и требуется построить Z-действие Т в пространстве (Х', ц'), сохраняющее меру //, и инвариантное разбиение? пространства X' такие, что Т/£ ~ Т. Эта задача, как и общая задача для пары S С G, где S — подполугруппа в G, решается с помощью конструкции естественного расширения. Без расширения пространства можно обойтись, лишь если энтропия S-действия равна нулю.

Цель работы. Получить критерии продолжаемости действия подгруппы Н С G для определенных пар (Н, G) и классов групп. Установить степень неединственности таких продолжений в типичном случае. Исследовать, какие возможности могут встречаться в общем случае, и построить явные примеры действий, реализующие эти возможности.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

— Развит новый подход к установлению типичности свойств сохраняющих меру преобразований, основанный на теореме Куратовского-Улама, и с его помощью доказано, что в централизаторе типичного преобразования содержится бесконечномерный тор;

— Для класса действий с точечным спектром найден критерий продолжаемости действия с подгруппы абелевой группы на всю группу. Построены примеры преобразований с однократным спектром, реализующие все возможности для числа корней из преобразования;

— Получен критерий продолжения действия с подрешетки в Ък и построен пример действия, обладающего нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки.

— Получен критерий существования продолжения в случае, когда Н является компактной нормальной подгруппой в локально компактной группе G.

Методы исследования. В работе используются спектральные, ап-проксимационные и топологические методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам по эр-годической теории и общей теории динамических систем и групп преобразований.

Апробация работы. Результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на семинарах по динамическим системам в.

МГУ в 1999;2005 гг. и на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории, посвященной памяти В. М. Алексеева (Кацивели, Украина, 2000 г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, списка литературы и двух частей основного текста. Первая часть состоит из пяти, а вторая — из четырех параграфов. Формулы, определения и утверждения имеют номерацию вида X. Y, где X — номер части, а У — номер формулы (определения, утверждения) в этой части.

1. Агеев О. Н. О функции кратности спектра динамических систем // Матем. заметки. 1999. Т. 65. N4. 619−621.

2. Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряЩ жен с (7-расширением для любой конечной абелевой группы G //Доклады РАН. 2000. Т. 374. N4. 439−442.

3. Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств // Уснехи мат. наук. 2003. Т. 58. N1. 177−178.

4. Ауслендер А., Грин Л., Хан Ф. Потоки на однородых нространствах. Библиотека сб. «Математика». М.: Мир, 1966.

5. Каток А. Б., Степин A.M. Аппроксимации в эргодической тео- ^ рии // Успехи мат. паук. 1967. Т. 22. Бып. 5. 81−106.

6. Каждан Д. А. О связи дуальпого пространства грунпы со строением ее замкнутых подгрупп // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1. N1.С. 71−74.

7. Кириллов А. А. Элемепты теории представлений. М.: Наука. 1978.

8. Корнфельд Н. П., Синай Я. Г., Фомин С В. Эргодическая теория. М.: Наука. 1980.• 9. Куратовский К. Тонология, т. 1. М.: Мир. 1966.

9. Общая эргодическая теория групп преобразований с инваринтной мерой. В кн.: Динамические системы-2. Сер. Современные про-блемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ.1985. Т. 2.

10. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир. 1974. ^ 12. Нонтрягип Л. Непрерывпые группы. М.: Наука, 1984.81.

11. Рохлин в.А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат. паук. 1949. Т. IV. Вып. 2(30).

12. Степин А. М. О корнях квадратных из метрических автоморфизмов // ДАН СССР. 1967. Т. 176. N5. 1023−1026.

13. Стенин А. М. Применение метода нериодических анпроксимаций в спектральной теории динамических систем. Канд. дисс, МГУ, 1968.

14. Стенин А. М. О когомологиях грунн автоморфизмов пространства Лебега // Функц. анализ и его нрил. 1971. Т. 5. N2. С 91−92.

15. Стенин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Матем. заметки. 1973. Т. 13. N3. С403−409.

16. Степин А. М. Снектральные свойства тиничных динамических систем // ДАН СССР. 1977. Т. 176. N5. 1023−1026.

17. Тихонов СВ. Тиничное действие группы 1^^ вкладывается в действие группы R^ // Доклады РАН. 2003. Т. 391. N1. 26−28.

18. Тихонов СВ. Тииичные свойства абелевых грунп нреобразований с инвариантной мерой и снектральная дизъюнктность // Дисс. канд. ж физ.-мат. н. М.: МГУ, 2003.

19. Е1 Abdalaoui Е. Н. Оп the spectrum of the powers of Ornstein transformations // Special issue on Ergodic theory and harmonicanalysis. Shankya, ser. A. 2000. V.62. N3. P. 291−306.

20. Bezuglyi S., Colodets V. Type IIIo transformations of measure space and outer conjugacy of countable amenable groups of automorphisms^ // J. Operator Theory. 1989. N21. P. 3−40.82.

21. Bezuglyi S., Golodets V. Weak equivalence and the structures of cocycles of an ergodic automorphism / / Publ, RIMS, Kyoto Univ. 1991. N27. P. 577−625.

22. Bezuglyi S. H-cocyles and ergodic actions of group extensions / / Dop. A NAN Ukraine. 1999. N9. P. 21−26.

23. Bezuglyi S., Dajani K., Dooley A.H., Hamachi T. Isomorphic actions of group extensions on a measure space / / Indag. Math. 2004. New Ser.

25. Chacon R.V. Transformations having continuous spectrum / / J. Math, and Mech. 1966. V. 16. N5. P. 399−415.

26. Chacon R.V. Weakly mixing transformations which are not strongly mixing / / Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 22. P. 559−562.

27. Danilenko A. On cocyles with values in group extensions. Generic • results / / Mat. Fiz. Anal. Geom. 2000. N7. P. 153−171.

28. Friedman N., Gabriel P., King J.L. An invariant for rigid rank-1 transformations / / Ergodic Th. and Dyn. Syst. 1988. V. 8(1). P. 53−72.

29. Golodets V. Sinel’shchikov. Classification and structure of cocylces of amenable ergodic equivalence relation / / J. Funct. Analysis. 1994. N121. P. 455−485.

30. Halmos P.R. Lectures on ergodic theory. Publications of the ^ Mathematical Society of Japan. Tokyo, 1956.83.

31. Halmos P.R. Square roots of measure preserving transformations// Amer. J. of Math. 1942. V. 64. P. 153−166.35. del Junco A., Lemanczyk M. Generic spectral properties of measure-preserving maps and applications // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.

32. King J. F. The generic transformation has roots of all orders // Colloq. Math. 2000. V. 84/85. P. 521−547.

33. King J. F. For mixing transformations rank T^ = к • rank T // Isr. J. Math. 1986. V. 56. P. 102−122.

34. Katok A., Robinson E.A. Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory // Proc. of Symposia in Pure Math.2001.

35. Lemanczyk M. Extensions of cocycles for hyperfinite actions and applications // Monatshefte fiir Mathematik. 1997. V. 123. N4. P. 209−228.

36. Madore B. Rank-one group actions with simple mixing Z-subactions // New York J. Math. 2004. V. 10. P. 175−194.