Эффект Джоуля—Томсона. 
Физика. 
Тепловые процессы

Зависимость (8.3) можно проверить экспериментально. Если газ пропускать через пористую перегородку, то происходит перепад давления /?, р₂ (рис. 8.2). Поскольку расширение газа происходит.

Рис. 8.2. Прохождение газа через перегородку.

адиабатически, то изменение внутренней энергии происходит за счёт работы газа.

Запишем первый закон термодинамики для процесса просачивания газа через пористую перегородку:

или.

Значит.

Следовательно, в условии опыта Джоуля—Томсона сохраняется не внутренняя энергия, а величина U+ pV. Вследствие расширения газа температура газа изменяется:

Таким образом, эффект наблюдается только для неидеальных газов. Если ДГ>0, эффект называется отрицательным, ДГсО — эффект называется положительным. Этот эффект используется для ожижения газов.

Рассчитаем эффект Джоуля—Томсона (рис. 8.3).

Рис. 8.3. К эффекту Джоуля—Томсона.

После расширения газ занимает большой объём. Поэтому его можно считать идеальным и положить p₂T₂ = RT₂, U₂=c_vT₂. Из уравнения Ван-дер-Ваальса (8.1):

В то же время из уравнения (8.3) следует, что и после подстановки в (8.5) получим.

а.

поэтому.

откуда.

Для идеального газа c_vT_x + RT_} =c_yT₂ + RT₂ и эффект отсутствует.

Фазовые переходы

Фазой термодинамической системы называют её равновесное состояние, отличающееся своими физическими свойствами и характеризуемое, как правило, температурой.

Фазовые переходы — это переходы из одного равновесного состояния в другое при изменении внешних условий. При этом однородность системы не нарушается, но главные параметры системы (объём, давление, количество внутренней энергии) вслед за плавным изменением внешних величин (температура, давление, объём) изменяются скачкообразно.

Замерзая, вода проходит несколько равновесных состояний, характеризуемых разными температурами. Но при 0 °C или 273 К молекулы воды занимают определённые положения друг относительно друга, образуя кристалл. Возникает фазовый переход первого рода — устанавливается порядок положения. Такой фазовый переход сопровождается поглощением или выделением теплоты, которая называется теплотой фазового перехода. К фазовым переходам первого рода относятся испарение, конденсация, плавление, отвердевание. Фазовый переход первого рода описывается уравнением Клапейрона— Клаузиуса:

где р — равновесное давление, т. е. давление, при котором обе фазы находятся в равновесии; q_n — удельная теплота фазового перехода.

V V

из фазы 1 в фазу 2; V,'=—, V₇' = -^ — удельные объёмы фаз, нахо- т т

дящихся в равновесии. Например, для фазового перехода вода—пар: Т — температура кипения воды при данном значении давления;

q_x2 — удельная теплота парообразования; V[ — удельный объём воды; У2 — удельный объём пара, причем v'"v;. Данный фазовый переход на графиках зависимости давления от объёма р (V) изображается горизонтальным участком изотермы (см. рис. 8.1).

При фазовом переходе второго рода устанавливается новый порядок движения. Аналогией служат разница движений людей в толпе и людей в строю, на физкультурном параде, при выступлении танцевального ансамбля. Переходы вещества в сверхпроводящее и/ или сверхтекучее состояния — это фазовые переходы второго рода.

Фазовые переходы часто наблюдаются в природе (плавление льда, кристаллизация, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую) и используются в технических процессах и устройствах (металлургия, получение кристаллов, сжижение газов, создание сверхпроводящих магнитов, создание высокоточных приборов для измерений малых величин).

9. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ При создании теории тепловых процессов первоначально использовалось представление теплоты как вещества особого рода (теплорода), исследовались и определялись тепловые потоки, затем в качестве характеристики теплоты стал использоваться точно измеряемый параметр — температура. Действительно, С. Карно определил эффективность работы теплового двигателя и показал, что величина эффективности преобразования теплоты в работу (КПД) зависит от разности температур, а не от рода рабочего тела (газ, жидкость, твёрдое тело, плазма). В дальнейшем была установлена взаимосвязь между потоком теплоты через заданную точку поверхности и локальной геометрией распределения температуры (градиентом температуры в данной точке) — уравнение (4.15). Поэтому важно получить зависимость скорости изменения температуры от геометрической характеристики температурного поля. С помощью уравнения (6.6), связывающего количество теплоты с разностью температур и теплоёмкостью, получим уравнение теплопроводности, выражающее связь изменения температуры с пространственным распределением поля температур в среде.

Если температуры на границах некоторой области поддерживаются постоянными, но различными, то происходит постоянный перенос энергии от областей с большей температурой к областям с меньшей температурой. Такой процесс теплопроводности называется стационарным. Но встречаются случаи, когда температура на одной из границ поддерживается постоянной, а на другой — постепенно изменяется в результате нагревания или охлаждения (такая ситуация встречается, например, в бытовом случае разогревания пищи). Зависит ли время нагревания от размера и формы нагреваемого предмета?

Рассмотрим объём dV, температура внутри которого зависит от времени и координаты х и уменьшается от T (x, t) до Т (х + + dx, t) (рис. 9.1), а внутренние источники теплоты отсутствуют. Используя разложение функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным изменением, температуру в точке (х + dx) для данного момента времени запишем в виде.

Рис. 9.1. Количество теплоты, поступающее в объем dV и выходящее из объёма dV.

Вместе с тем температура в объёме dV повышается за счёт разности количеств теплоты, перетекающих через поперечные сечения S. Согласно закону Фурье (4.15) количество теплоты 5(?, поступающей через площадку S за время dt

дТ[х).

где к — коэффициент теплопроводности, ——¹— — градиент тем;

ах

пературы в точке х. Количество теплоты SQ₂, уходящей через площадку S за время dt, определим:

Таким образом, изменение энергии в объёме dV равно:

В то же время итоговое количество теплоты в объёме пропорционально удельной теплоёмкости с, массе объёма ciVи изменению температуры ciT за время процесса clt:

В зависимости от условий протекания процесса может использоваться изохорная или изобарная удельные теплоёмкости. Объединяя выражения (9.1) и (9.2), получаем.

или.

Последнее уравнение называется одномерным уравнением теплопроводности. Это уравнение выражает сохранение плотности тепловой энергии (энергии в единице объёма) в бесконечно малом объёме. Обмен теплотой с окружающей средой должен учитываться с помощью температурных или тепловых потоков, заданных на границе объёма. Кроме того, предполагается, что распределение температуры по области известно в начальный момент времени t = 0. То есть уравнение дополняется начальными и граничными условиями. Отношение коэффициента теплопроводности к теплоёмкости и плотности называют коэффициентом темпек ратуропроводности — = а. Коэффициент температуропроводности Ф ^ .

характеризует скорость изменения температуры. С учетом этого обозначения уравнение теплопроводности приобретает вид.

Коэффициент пропорциональности а в уравнении является физической константой, которая связывает количество теплоты, пересекающей единицу площади поверхности в единицу времени, с пространственным градиентом температуры, перпендикулярным поверхности. Интерпретируя геометрически выражение в правой части уравнения, укажем, что оно пропорционально кривизне распределения температуры вдоль некоторого направления (в общем случае — кривизне температурного поля), что характеризует резкость изменения поля.

Уравнение нестационарной теплопроводности, выведенное Ж. Фурье, привлекло внимание как физиков, так и математиков своего времени и получило окончательный вид спустя несколько лет дискуссии. Дифференциальное уравнение Фурье имеет много приложений в других физических разделах и даже в экономических и социальных науках. Примечательно, что уравнение Фурье широко применяется в процессе теплопереноса веществом, будь то в форме твёрдого тела, жидкости или газа. Это существенно повлияло на понимание учеными как электричества, так и процесса диффузии. Это также трансформировало понимание потока в природе в целом — от прохождения воды через пористые породы до движения крови через капилляры.

Уравнение типа (9.4) описывает также такие процессы, как диффузия, изменение электрического поля в однородной проводящей среде, движение нерелятивистских квантовых частиц (уравнение Шрёдингера).

Удобно перейти к переменной изменения температуры относительно Т_{): АТ = Т — Т₍₎ (отклонение температуры в данной точке от среднего значения). Тогда уравнение теплопроводности, выраженное в терминах АТ:

Таким образом, температура в данной точке возрастает или уменьшается со скоростью, пропорциональной отклонению температуры от среднего значения температуры около данной точки. Функция, удовлетворяющая правой части уравнения.

(9.5), должна быть гармонической, т. е. выражаться через синус или косинус координаты.

Теперь рассмотрим задачу нагревания тела, размер которого в одном направлении равен /, размер в других направлениях много больше /, температура на одной границе остаётся постоянной, поток теплоты на другой границе отсутствует. Начальная температура тела равна Г₀, условие отсутствия теплового потока п ЭГ (0,/) _Л

на границе х = 0 имеет вид ——= 0, температура на границе Эх.

х = I остаётся постоянной и равной Г, температура тела в процессе нагревания возрастает до значения Г, > Т_{) (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Неограниченная пластина толщиной I.

эдг (о,/).

На границах выполняются условия ДД0,0) = 0,-—? —- = 0,.

ах

AT (l, t) = — Т₀ = АТ₀. Форма уравнения (9.5) (отсутствует смешанная производная) указывает на возможность разделения переменных координаты и времени в функции AT (x, t), которую записывают в виде:

Слагаемое АТ₀ также удовлетворяет уравнению (9.5) и вводится для того, чтобы первое слагаемое в (9.6) на границах рассматриваемой области обращалось в ноль. Подставляя функцию.

(9.6) в (9.5), получим:

После деления уравнения (9.7) на Т (х)в (/)оно имеет вид:

поскольку левая часть равенства не зависит от /, а правая часть не зависит от х, что может выполняться при условии равенства обеих частей константе. Константа выбирается из граничных условий. Таким образом, задачу можно разделить на две:

для каждой переменной. Решение первого уравнения 0(/) = = Ce~^ak2f, решение второго — Т (х)= >lcos&x+ Z? sinfo, где А, В, С — постоянные интегрирования, которые можно определить из граничных и начальных условий. А именно:

используя граничное условие 7″ (0) = 0, получаем В = О, из второго граничного условия Т (/) = О следует A cos к = 0, т. е.

I. _.. _ч

решение существует при к = —, п = 1,3,5… (нечетно). Подстановка найденных решений в (9.6) даёт.

Для каждого п (9.9) является частным решением уравнения (9.5).

Другое важное свойство исходного уравнения (9.5) — то, что оно линейно, поэтому чтобы получить обшее решение, воспользуемся принципом суперпозиции — общее решение (9.5) есть сумма всех частных решений (9.9) с разными п :

Коэффициенты С" определяют из начальных условий. Как правило, решение уравнения теплопроводности получают численными методами (например, методом конечных разностей).

Решение (9.10) уравнения теплопроводности Фурье показывает, что некоторые функции могут быть записаны как бесконечная сумма гармоник. Как следствие, математики стали рассматривать способ представления периодической функции рядом Фурье — суммой простых синусоид и/или косинусоид вне зависимости от физического содержания функции (тепловые импульсы, акустический или электрический сигнал, или периодический процесс пока ещё не понятой природы в экономике). Таким образом, ряд Фурье преобразует периодический процесс сложной формы в дискретную последовательность частот и соответствующих им амплитуд, создавая своеобразный портрет изучаемого процесса. С помощью Фурье-преобразования (и его модификации для ЭВМ — быстрого преобразования Фурье) выясняют главные особенности, влияющие на исследуемый процесс.

В случае регулярного режима нагревания или охлаждения задача упрощается. Кроме того, влияние начальных условий считается незначительным, а изменение температуры со временем происходит по экспоненциальному закону.

Коэффициент к в формуле (9.11) зависит от размеров и формы тел. Для неограниченной пластины толщины / коэффициент к = —. Для шара радиуса R коэффициент к = —. С помо- / R

шью формулы (9.11) можно рассчитать время нагрева или остывания различных предметов.

Пример 1. Оценим время, за которое вода, нагретая до температуры кипения Т = 373 К, остынет до комнатной температуры Г₀ = 293 К. Сделаем расчёт для воды, налитой в термокружку высотой 10 см (теплообменом со стенками пренебрегаем).

Для воды коэффициент температуропроводности:

Выразим время.

Пример 2. При прохождении спускаемых аппаратов космических кораблей через атмосферу происходит нагрев оболочки аппарата до температуры около 3000 К. Сделаем оценку температуры внутри спускаемого аппарата, считая, что спуск продолжается 25 минут, а для теплозащиты применяется слой асбестотекстолита толщиной 7 см. Коэффициент температуропроводности асбестотекстолита:

Температура внутри спускаемого аппарата:

Очевидно, что за счёт обычной теплоизоляции невозможно обеспечить спуск с орбиты живых организмов и приборов, поэтому необходимо применять специальные абляционные технологин, использующие не только теплопроводность, но и испарение теплоизолирующего материала. ?

Считается, что Ж. Фурье был первым учёным, заметившим явление, которое мы сегодня называем парниковым эффектом. Было зафиксировано, что температура планеты, находящейся так далеко от Солнца, как Земля, должна быть значительно ниже. Поскольку из закона сохранения энергии следует тепловой баланс, то ученый предположил, что что-то на Земле, в частности её атмосфера, должно позволять улавливать и накапливать солнечную радиацию, которая иначе просто излучалась бы обратно в космос. Другой пример — накопление солнечной энергии растениями, превратившимися затем в ископаемый уголь, а теперь служащими топливом.

Чтобы обосновать гипотезу, Фурье создал модель Земли в виде коробки со стеклянной крышкой. Со временем температура в коробке становилась выше температуры окружающего воздуха, указывая на то, что стекло постоянно захватывало теплоту. Поскольку его модель в какой-то мере напоминала оранжерею, это явление стало называться «парниковым эффектом». Позже Дж. Тиндаль обнаружил, что роль теплопоглотителя может играть углекислый газ.

Жизнь на Земле, как мы её знаем, была бы невозможна без парникового эффекта. Однако сегодня ученые, как правило, больше озабочены избытком парниковых газов. Математические модели предполагают, что по мере накопления углекислого газа теплота может захватываться быстрее, что приводит к повышенным глобальным средним температурам, таянию полярных ледяных шапок и повышению уровня океана и морей.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ Замечательное свойство экспоненциальной функции.

используется при вычислениях интегралов от функций, зависящих от е*. Рассмотрим метод, с помощью которого выполнение операции интегрирования заменяется более простой операцией дифференцирования, — метод дифференцирования по параметру.

Из равенства (П.1) следует, что.

тогда.

где, а — параметр. Поэтому или.

Аналогично, и т. д.

При расчётах также часто встречаются интегралы, содержащие.

е~*². Метод интегрирования по параметру можно применять и в этом случае. Но вначале покажем, что интеграл Пуассона.

Покажем, что вездесущее я появляется здесь неспроста. В самом деле,.

а после введения полярных координат.

где z = г², и интеграл равен единице согласно равенству (П.1). Поэтому /_п = >/я.

Так как подынтегральная функция симметрична, то Вводя параметр а, запишем Тогда или.

Можно продолжить вычисления интегралов, содержащих более высокие чётные степени х. Очевидно, что.

С помощью последнего равенства, пользуясь методом интегрирования по параметру, вычисляем интегралы, содержащие более высокие нечётные степени х.