Относительная частота события

Пусть в отдельном испытании может произойти или не произойти некоторое событие А. Проведем серию из п одинаковых испытаний и зафиксируем число появлений события А. Пусть это будет число т. Поделив число появлений события, А на общее число испытаний, получим так называемую относительную частоту события А:

Иногда относительную частоту события называют эмпирической вероятностью. Относительная частота события А носит случайный характер и будет меняться от серии к серии испытаний. При увеличении длины серии испытаний эти колебания частоты от серии к серии будут становиться меньше, поскольку случайные обстоятельства, влияющие на испытания, в массе взаимно гасятся. Многочисленными экспериментами установлено, что:

• 1) частоты Р_п(А) с увеличением и проявляют тенденцию к стабилизации. Экспериментальный факт стабилизации частоты получил название статистической устойчивости частот;
• 2) относительные частоты события при неограниченном увеличении длины серии испытаний п приближаются к вероятности события:

Конечно, при любом конечном числе опытов, а это всегда имеет место в эксперименте, вероятность события в общем случае мы не получим, но приближенное значение вероятности появления события А будем иметь.

Классическая вероятность

Рассмотрим пространство элементарных исходов, имеющее следующие свойства:

• • пространство элементарных исходов конечно;
• • все исходы равновозможны;

• • все исходы несовместны, т. е. никакие исходы не могут произойти одновременно;
• • рассматриваемые исходы в сумме образуют достоверное событие. Пусть ?> = {со, со₂> w_n} — конечное пространство, содержащее п

элементарных исходов, с соответствующими вероятностями Р = {р, р₂, …, р_п}. Пусть вероятности каждого исхода равны: р^=р₂ = … =р_п = р. Тогда.

Отсюда.

Вероятность события А, содержащего т исходов, равна.

РШ= X Pi =—?

щеА К

Читается формула классической вероятности следующим образом: вероятность реализации события, А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов вероятностного пространства.

Пример 2.2. В корзине два яблока и три апельсина. Наудачу выбираются два фрукта. Какова вероятность выбрать два апельсина?

Решение. Разместим имеющиеся в корзине фрукты в ряд и перенумеруем их (рис. 2.1). Создадим пространство элементарных исходов, в котором каждый исход есть вынимание из корзины двух фруктов (например, первый исход — вынимание первого апельсина и первого яблока (1а + 1я) и т. д.):

Рис. 2.1. К примеру 2.2.

Всего 10 исходов. Благоприятствующими рассматриваемому событию будем считать исходы, когда выбраны два апельсина. Это три исхода. Тогда вероятность выбрать два апельсина из пяти фруктов равна р = -^.

Этот же результат можно получить быстрее, воспользовавшись формулами комбинаторики. Общее число элементарных исходов равно числу способов вынуть из пяти фруктов два, т. е. равно числу сочетаний из пяти по два — С|. Число благоприятствующих исходов равно числу способов вынуть из трех апельсинов два фрукта — С|. Искомая вероятность будет равна