Статистика случайных процессов и временных рядов

Методы статистики случайных процессов и временных рядов применяют для постановки и решения, в частности, следующих задач:

• * предсказание будущего развития случайного процесса или временного ряда;
• * управление случайным процессом (временным рядом) с целью достижения поставленных целей, например, заданных значений контролируемых параметров;
• * построение вероятностной модели реального процесса, обычно длящегося во времени, и изучение свойств этой модели.

Пример 1. При внедрении статистического регулирования технологического процесса необходимо проверить, что в налаженном состоянии математическое ожидание контролируемого параметра не меняется со временем. Если подобное изменение будет обнаружено, то необходимо установить подналадочное устройство.

Пример 2. Следящие системы, например, входящие в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом, должны выделять полезный сигнал на фоне шумов. Это — задача оценивания (полезного сигнала), в то время как в примере 1 речь шла о задаче проверки гипотезы.

Статистика объектов нечисловой природы

Методы статистики объектов нечисловой природы применяют всегда, когда результаты наблюдений являются объектами нечисловой природы. Например, сообщениями о годности или дефектности единиц продукции. Информацией о сортности единиц продукции. Разбиениями единиц продукции на группы соответственно значения контролируемых параметров. Упорядочениями единиц продукции по качеству или инвестиционных проектов по предпочтительности. Фотографиями поверхности изделия, пораженной коррозией, и т. д. Итак, объекты нечисловой природы — это измерения по качественному признаку, множества, бинарные отношения (разбиения, упорядочения и др.) и многие другие математические объекты [2]. Они используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, в задачах управления качеством продукции, а также, например, в медицине и социологии, как для описания результатов приборных измерений, так и для анализа экспертных оценок.

Для описания данных, являющихся объектами нечисловой природы, применяют, в частности, таблицы сопряженности, а в качестве средних величин — решения оптимизационных зада. В качестве выборочных средних для измерений в порядковой шкале используют медиану и моду, а в шкале наименований — только моду. О методах классификации нечисловых данных говорилось выше.

Для решения параметрических задач оценивания используют оптимизационный подход, метод одношаговых оценок, метод максимального правдоподобия, метод устойчивых оценок. Для решения непараметрических задач оценивания наряду с оптимизационными подходами к оцениванию характеристик используют непараметрические оценки распределения случайного элемента, плотности распределения, функции, выражающей зависимость.

В качестве примера методов проверки статистических гипотез для объектов нечисловой природы рассмотрим критерий «хи-квадрат» (обозначают ч2), разработанный К. Пирсоном для проверки гипотезы однородности (другими словами, совпадения) распределений, соответствующих двум независимым выборкам.

Рассматриваются две выборки объемов n1 и n2, состоящие из результатов наблюдений качественного признака, имеющего k градаций. Пусть m1j и m2j — количества элементов первой и второй выборок соответственно, для которых наблюдается j-я градация, а p1j и p2j — вероятности того, что эта градация будет принята, для элементов первой и второй выборок, j = 1, 2, …, k.

Для проверки гипотезы однородности распределений, соответствующих двум независимым выборкам,.

H0: p1j = p2j, j = 1, 2, …, k,.

применяют критерий ч2 (хи-квадрат) со статистикой.

Установлено [9, 11], что статистика Х2 при больших объемах выборок n1 и n2 имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с (k — 1) степенью свободы.

Таблица 2 — Распределения плавок стали по процентному содержанию серы.

Пример 3. В табл.2 приведены данные о содержании серы в углеродистой стали, выплавляемой двумя металлургическими заводами. Проверим, можно ли считать распределения примеси серы в плавках стали этих двух заводов одинаковыми.

Расчет по данным табл.2 дает Х2 = 3,39. Квантиль порядка 0,95 распределения хи-квадрат с k — 1 = 3 степенями свободы равен, а потому гипотезу о совпадении функций распределения содержания серы в плавках двух заводов нельзя отклонить, т. е. ее следует принять (на уровне значимости б = 0,05).