Учебные пособия — самоучители решения задач

Одной из целей современной высшей школы является подготовка выпускника, способного к успешной трудовой деятельности, а также к научно-исследовательской деятельности в различных областях знаний, требующих от человека творческого напряжения и интеллектуальных усилий. Идея исследования как метода познания мира и метода обучения принадлежит древности. Самое раннее и классическое выражение этой идеи находим у древнегреческого философа Сократа (469−399 гг. до н. э.).

Сократовский (или сократический) метод представляет собой бсседуисследование с помощью остроумных вопросов, задаваемых одним собеседником другому. При этом обнаруживаются противоречия в общепринятом понимании тех или иных явлений окружающего мира, выявляется несоответствие между привычными суждениями и теми представлениями, которые создает пристальный анализ; осознание этих противоречий будит мысль, возникают новые вопросы, которые шаг за шагом ведут к истине.

В созданной автором серии учебных пособий — самоучителей [19−21], в основу которых положено применение сократического, исследовательского, проблемного методов, модулями являются также разделы курса высшей математики.

Одной из целей создания учебных пособий — самоучителей явилась потребность помочь студентам-первокурсникам со слабой математической подготовкой адаптироваться к новым условиям обучения в вузе.

Входящие в учебно-методический комплекс учебные пособия — самоучители решения задач — содержат как теоретический материал, изложение которого иллюстрируется решенными примерами, так и варианты типовых индивидуальных заданий по разделам курса высшей математики: «Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Предел и непрерывность функции одного аргумента», «Производная и ее приложения».

Теоретический материал, как правило, излагается в виде ответов на поставленные перед студентом вопросы. Применяются проблемный, программированный, сократический методы. Отвечая на поставленные вопросы и делая записи в соответствии с рекомендациями, студент не только справляется с решением задач своего варианта, но хорошо усваивает теорегический материал и создает свой конспект по наиболее трудным для понимания вопросам из изучаемых разделов высшей математики. Например, в учебном пособии «Предел и непрерывность функции одного аргумента» дидактическое обеспечение изучения темы «Вычисление предела функции одного аргумента» осуществляется следующим образом.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Задание 1.0 (1. JNs моего варианта) Найти пределы заданных функций.

Несмотря на то, что вычисления в этом задании невелики, для их выполнения Вам потребуется изучить большой объем теоретического материала.

Подготовимся к решению примеров задания 1.

• 1.1. Сформулируйте определение понятия функции одного аргумента.
• 1.2. Какие функции называются основными элементарными?

К основным элементарным функциям относятся следующие функции:

• 1.3. Какие функции называют элементарными?
• 1.4. Сформулируйте определение предела функции в точке х = а.
• 1.5. Какая функция называется непрерывной в точке дс = дг₀?
• 1.6. Перечислите три условия, которые должны выполняться для непрерывной в точке лг = лг₀ функции.
• 1.7. В каких точках непрерывны все элементарные функции?

Из теоремы о непрерывности элементарных функций и определения непрерывной функции в точке х = а следует, что при вычислении предела элементарной функции, прежде всего, вместо х нужно подставить значение а в выражение, задающее эту функцию/(х).

Если при этом получается число А, то оно и является пределом данной функции/(х) в данной точке х = а (при х —" а), т. е.

/(*) =/(«) = А.

Например, вычислим предел lim (2x-l). В данном случае, а = 5.

х—> 5.

Функция /(х) задается выражением: 2-х — 1. Подставим в него вместо х значение а, равное пяти: а = 5. Получим: 2 • 5 — 1 = 9.

Но очень часто, подставляя значение х = а в выражение, задающее функцию f{x), получают неопределенности одного из следующих видов:

Такого вида неопределенности следует раскрывать при помощи соответствующих различных приемов.

Запишите пример а) задания 1 Вашего варианта:

1.8. Укажите значение а, к которому стремится х, в Вашем примере.

а =…

1.9. Запишите выражение, задающее функцию, для которой Вам нужно вычислить предел.

т =…

Подставьте в/(х) вместо х значение а, найдите значение f (a).

f (a) =f () =…

• 1.10. В итоге получилась неопределенность вида: …
• *³ — Зх -2 [(-1)³ — 3 • (-1) — 2] [0]

Например, ^ _{+ 2х +} ,={(_,)= _{+ 2+} , = [о]'.

1.11. Как следует поступить для того, чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, если при х -" а числитель и знаменатель функции имеют пределы, равные нулю?

Ответы на вопросы задания помещены в конце учебных пособий [19−21].

1.1. Таблица 2.1.3.

1.3. Таблица 2.1.5.

1.4.__Таблица 2.1.6.

Геометрический смысл этого определения заключается в следующем.

Какую бы узенькую полоску шириной 2е, параллельную оси абсцисс и содержащую прямую у = А посередине (е-окрсстность точки у = A: U_e(A)), мы ни выделили, всегда существует такой симметричный интервал длиной 28 с центром в точке х = а, х^а (проколотая 8-окрестность точки х = а: U _s (а)), что для всех х из проколотой 8-окрсстности точки х = а значения функции/(х) попадают в s-окрестность точки у = А:

Автор зарифмовала это определение, чтобы оно лучше запоминалось:

Для любого ипсилон больше нуля положительное дельта найдется, такое, что если х из проколотой дельта-окрестности точки а любой берется, значение функции Дх) в ипсилон-окрестность точки В попадется.

Рис. 2.4. Ггометрический смысл определения предела функции в точке

1.5._Таблица 2.1.7.

1.6._Таблица 2.1.8.

1.7._Таблица 2.1.9.

• 1.8. х —" а => а =…
• 1.9. lim/(*)=>/(*) =…

х—>а

• 1.10. Неопределенность вида |^|.
• 1.11. Нужно «раскрыть» неопределенность, используя соответствующие приемы: тождественные преобразования функций, разложение функций на множители и т. п. (табл. 2.1.10).

№. пп.	Вид функции fix)	Какие преобразования нужно сделать.	Результат преобразований.
		Разделить многочлены Р"(х) и Q",(x) на разность (х — а), сократить fix) на эту разность (, v -а) и подставить вместо х значение х = а
	Функция J{x) содержит иррациональность вида.	Умножить и разделить функцию fix) на сопряженное иррациональное выражение (д/и, (х) + д/"2 (.v)), использовать формулу сокращенного умножения А — В)(А + В) = А2 — В2 и сократить /(х) на разность (х — а)	То же.
	Функция J[x) содержит иррациональность вида. xfufix)-ф2(х) или. +ju2(x)	Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней — на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения: (А — В)(А2 + АВ + В2) = А3-В3— (А + В)(А2 -АВ + В2) = А3 + В3 и сократить функцию fix) на разность (х — а)

Двадцать семь индивидуальных заданий в 25 вариантах первого пособия «Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия»; 39 индивидуальных заданий в 30 вариантах — второго пособия «Предел и непрерывность функции одного аргумента»; 60 индивидуальных заданий в 30 вариантах — третьего пособия «Производная и ее приложения» — позволяют студентам, решающим дополнительные задания, закрепить знания, умения и навыки, приобретенные при решении примеров одного из вариантов, обогатить рефлексивный опыт, а преподавателей обеспечивают богатым банком заданий.