Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание (опыт) может быть осуществлено человеком, но может проводиться и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя.

Приведем п р и м еры событий.

• 1. Появление герба (реверса — оборотной стороны) при подбрасывании монеты.
• 2. Выигрыш автомобиля по билету денежно-вещевой лотереи.
• 3. Выход бракованного изделия с конвейера предприятия.
• 4. Выпадение более 1000 мм осадков в данном географическом пункте за определенный год.

Событие — это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания (опыта, эксперимента). События обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: Л, В, С.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие Л, происходит и событие В, то говорят, что Л влечет за собой событие В (входит в В, является частным случаем, вариантом В) или В включает событие Л, является следствием события Л и обозначают ЛсВ. Например, если событие Л — изделие 1-го сорта, В — изделие 2-го сорта, С — изделие стандартное, то ЛсС и В с С .

Если одновременно ЛсВ и В с Л, то в этом случае события Л и В называют равносильными, или эквивалентными, и обозначают Л = В. Например, события «не все изделия данной партии стандартные» и «по крайней мере одно из изделий данной партии нестандартное» являются равносильными (хотя и имеют различные по форме словесные описания).

События называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными (совместимыми). Например, выигрыш, но одному билету денежно-вещевой лотереи двух ценных предметов — события несовместные, а выигрыш тех же предметов по двум билетам — события совместные. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» — события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах, но трем дисциплинам — события совместные.

Событие называется достоверным (обозначаем буквой Г2), если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным (обозначаем символом 0), если в результате испытания оно вообще не может произойти. Например, если в партии все изделия стандартные, то извлечение из нее стандартного изделия — событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия — событие невозможное.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт либо появление герба или решки при подбрасывании монеты — события равновозможные. Так, если монета «правильная», выполнена симметрично, то нет никаких оснований считать «появление герба» при подбрасывании монеты событием объективно более возможным, чем «появление решки».

Равновозможные события не могут появляться иначе, чем в испытаниях, обладающих симметрией возможных исходов; и наше незнание того, какое из событий объективно более возможно при отсутствии симметрии исходов, не может служить основанием, чтобы считать события равновозможными.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них. Например, события, состоящие в том, что в семье из двух детей: А — «два мальчика», В — «один мальчик, одна девочка», С — «две девочки» — являются единственно возможными.

Другой пример. События, состоящие в том, что при 10 выстрелах число т попаданий в цель: В — т <2, Е — т < 8, F — га > 5 также являются единственно возможными, так как при любом результате стрельбы обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий (например, при т = 9 — событие Т⁷, при т = 1 — событие В или Е и т. д.).

Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Так, в приведенных двух последних примерах события А, В, С образуют полную группу, так как они единственно возможные и несовместные, а события В, Я, Т— полную группу не образуют, так как они только единственно возможные, но совместные^[1].

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие, противоположное событию Л, будем обозначать¹ А. Очевидно, что: Л = А, 0 = 0, 0 = 0.] если А = В, то А = В.

Например, «появление герба» и «появление решки» при подбрасывании монеты, «отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии — события противоположные.

• [1] В некоторых курсах теории вероятностей в понятие «полная группа событий"не включается требование несовместности событий. При такой трактовке события О, Е, Етакже будут образовывать полную группу.