ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅, Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°
ΠΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π£ΠΎΠ»ΡΠ° wal (m, x) Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π£ΠΎΠ»ΡΠ° Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ h R* ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ f R. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ, ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅, Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅, Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ «Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡΡ» Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ².
ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π² ΡΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ², Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ R — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠΎ f R ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ f ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ R; ΠΈΠ»ΠΈ f R ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ f Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ R.
ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ R, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ, Π ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΊΡΡΠ³Ρ Ρ 2 + y2 1, x 0.
ΠΡΠ»ΠΈ M ΠΈ N — Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ M Ρ N ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ (x, y), Π³Π΄Π΅ x M, a y N.
1. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ
1) Π² R ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ «ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π΅ΡΠ»ΠΈ f R, g R, ΡΠΎ f + g R; Π² R ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ 0 ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ 0 +f = f Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ f R;
2) Π² R ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° f R Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π (Π, f R f R). Π§Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π’, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ f R ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ h R*, Π³Π΄Π΅ R* ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ R* = R, ΡΠΎ Π’ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ R Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ. ΠΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ R Π² R* Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
T f = h (f R, h R*).
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° R* - ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π’ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π°.
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
T f = h
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ h R* ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ f R. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ, ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π’ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π’-1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ
f = T-1 h.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ — ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² R, ΡΠΎ Π³Π΄Π΅ ΠΈ ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ, Π — ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° n x n
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, Π Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π°, ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠΌ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ , y R ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (x, y) — ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ x ΠΈ y — ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
(x, y) 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ (x, y) = 0, ΡΠΎ x = y;
(x, y) = (y, x);
(x, y) (x, z) + (z, y) (Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°).
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΎ Π² ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ R Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ°.
Π ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ (ΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ), ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ x (t), y (t), …. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ².
1. Π‘[a, b] — ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ [a, b] ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ:
y (t)
(x, y)
2. L2(a, b) — ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (x (t) L2(a, b), Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
1 = 2 =. .. = n = 0.
Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ f1, f2,. .. , fn ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ dim R ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΡΠ»ΠΈ m = dim R, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Rm.
2. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ R ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ («Π΄Π»ΠΈΠ½Π°» ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ ), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΎΠΉ Ρ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
1., ΡΠΎΠ³Π΄Π° Ρ = 0;
2. (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΡ);
3. (Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°).
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΄Π»Ρ
ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R Π² ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ:
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π‘[a,b] ΠΈ L2(a,b) ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, Π° =, b =, ΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π½ΠΎΡΠΌΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ΅Π·ΠΈΡΡΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² 1 ΠΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ x (t) Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΆΠΈΠΌΠ°Ρ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ :
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
3. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² x, y R ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (x, y), ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ
1. (x, y) = (y, x)* (* — Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ);
2. (1 Ρ 1 + 2 Ρ 2, y) = 1(x1, y) + 2(x2, y) (1, 2 K);
3. (x, x) 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ (Ρ , Ρ ) = 0, ΡΠΎ Ρ = 0.
Π ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ° Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1. ΠΠ»Ρ Ρ , y ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π¨Π²Π°ΡΡΠ° Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2. ΠΠ»Ρ Ρ , y ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ ΠΈΠ»ΠΈ y ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ = y (> 0).
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3. ΠΠ»Ρ Ρ , y ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ ΠΈΠ»ΠΈ y ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ = y (> 0).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ²Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ , y R (x 0, y 0) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ (Ρ , y) = 0.
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² e1, e2,. .. , en,. .. ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ
ΠΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ 1, Ρ 2,. .. , Ρ n,. .. ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π° ((xi, xj)=0, i j), ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΠ· ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ — Π»ΡΠ±ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ. ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² y1, y2,. .. , yn,. .. -Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°Ρ, ΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° e1, e2,. .. , en,.. ., Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ f — Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° R, a e1, e2, …, en,… — ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π€ΡΡΡΠ΅, Π° ΡΡΠ΄ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΄Π° Π€ΡΡΡΠ΅. Π ΡΠ΄ Π€ΡΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅Ρ f (ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ f). ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° f ΠΈ ΡΡΠ΄Π° Π€ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈ
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΠ΅ΡΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ:
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ Π΄Π»Ρ m = 1, 2, 3, …ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0,1].
3. ΠΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π£ΠΎΠ»ΡΠ° wal (m, x) Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π£ΠΎΠ»ΡΠ° Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ²
4. ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ 1, t, t2, …, tn, … Π² ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Π΄Π΅ Ρ (t) — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ, Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ [a, b] ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° [-1, 1] ΠΈ p (t) = 1 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΠ΅ΠΆΠ°Π½Π΄ΡΠ°; Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° [-1, 1] ΠΈ — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π°; Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ [0, ] ΠΈ p (t) = Π΅-t — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΠ³Π΅ΡΡΠ°; Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΈ (-,) ΠΈ p (t) = Π΅-t — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΠΌΠΈΡΠ° ΠΈ Ρ. Π΄.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ R Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ (Ρ m+p, xn) 0 ΠΏΡΠΈ m (xm R), p =, ΡΠΎ Ρ ΠΎ R ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ lim (xm, xo) = 0.
m
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΠ°Π½Π°Ρ Π°.
ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
1. ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ L(a, b) — Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ (Π°, b) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (x (t) L(a, b), Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΠ°Π½Π°Ρ Π°.
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ L2 (a, b), ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ°.